1r ciclo Problema: Gráfico campo y potencial eléctrico.

[GNzcuber]

Hola a todos,

El problema que tengo en principio creo que es sencillo, pero tengo dudas.

Consideremos un plano infinito cargado uniformemente con un densidad de carga superficial $\dst \sigma$ y una carga puntual q situada a una distancia L del plano.
a) Calculad y representad gráficamente el campo eléctrico en cualquier punto de la recta que une la carga IqA con el plano.
b) Encontrad el potencial en cualquier punto de la recta anterior, indicando donde habeis escogido el origen de potencial.

a) Bueno, he calculado el campo eléctrico del plano infinito porque no me acuerdo su fórmula y me dio:

$$\dst \vec{E}_{\pi}=\left\{\ \begin{aligned}\vec{E}_\pi(x>0)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}\\ \vec{E}_\pi(x<0)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}\end{aligned}\right.$$

El campo eléctrico de la carga puntual q:

$$\dst \vec{E}_q=\left\{\ \begin{aligned}\vec{E}_q(x>L)=k\frac{q}{(x-L)^2}\vec{i}\\ \vec{E}_q(x<L)=-k\frac{q}{(x-L)^2}\vec{i}\end{aligned}\right.$$

Por lo tanto tendré que el campo por ambos será:

$$\dst \vec{E}=\left\{\ \begin{aligned}\vec{E}(x>L)=\vec{E}_\pi(x>0)+\vec{E}_q(x>L)=\left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+k\frac{q}{(x-L)^2}\right)\vec{i}\\ \vec{E}(L>x>0)=\vec{E}_\pi(x>0)+\vec{E}_q(x<L)=\left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}-k\frac{q}{(x-L)^2}\right)\vec{i}\\ \vec{E}(x<0)=\vec{E}_\pi(x<0)+\vec{E}_q(x<L)=-\left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+k\frac{q}{(x-L)^2}\right)\vec{i}\end{aligned}\right.$$

La gráfica no la puedo mostrar, pero es muy discontinua y se divide en tres partes.

b) Aquí tengo problemas con la notación, ya me bajaron puntos por esto y no sé cuál es la correcta. Pero lo pondré de la forma que ahora lo creo adecuada.

$$\dst \Delta V= V(x) - V_0=-\int_0^x\vec{E}\cdot {d}\vec{l}=-\int_0^xE{d}x$$

Integrando, haciéndolo como una integral indefinida:

$$\dst V(x)\left\{\ \begin{aligned}V(x>L)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}x+k\frac{q}{x-L}+C_1\\ V(L>x>0)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}x-k\frac{q}{x-L}+C_2\\ V(x<0)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}x-k\frac{q}{x-L}+C_3\end{aligned}\right.$$

Como tengo un plano infinito no puedo elegir el origen de pontencial en el infinito, por lo tanto lo escogeré en x=0.

Para V(L<x<0):

$$\dst V(x=0)=0=C_2-k\frac{q}{x-L}\Rightarrow C_2=k\frac{q}{x-L}$$

Para V(x<0):

$$\dst V(x=0)=0=C_3-k\frac{q}{x-L}\Rightarrow C_3=k\frac{q}{x-L}$$

Pero para la continuidad entre V(L<x<0) y V(x>L), ambos tienden a $\dst +\infty$ Y por lo tanto la contsante $\dst C_1$ da igual cuánto valga. ¿Debo ponerla también para x=0?

Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Problema: Gráfico campo y potencial eléctrico.

Mi buen amigo, como te gusta complicarte la vida. Si el problema no te obliga, ¿por qué eliges el origen en la posición del plano? Mucho simplificarías si eliges el origen en la posición de la carga puntual. Seguramente estás estudiando Física y no Ingeniería

Tienes un error en el potencial. El potencial del plano varía linealmente con la distancia y lo pusiste constante.

Tu notación también pone las cosas mas confusas. Por ejemplo deberías escribir

$$\vec{E}_{\pi}(x)=\left\{\ \begin{matrix} \dst - \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}, & x < 0 \\ \\ \dst \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}, & x>0 \end{matrix}\right.$$

Ahora, estás planteando un problema interesantemente pelúo, hallar los valores de las constantes C para hacer continua una función que es discontinua precisamente en donde quieres establecer la continuidad Yo te digo honestamente que yo me rindo.

Yo creo que en semejante situación puedes definir el potencial por tramos, independiente cada función de las otras pues ¿qué sentido tiene calcular la diferencia de potencial entre dos puntos que estén en diferentes regiones? ¿sería posible transportar una carga de prueba de una región a la otra? La discontinuidad del potencial en el plano es evitable si defines el potencial en el plano (x=0) igual a tu nivel de referencia, pero la discontinuidad en la carga puntual (x=L) no hay forma de superarla (tampoco tiene sentido ni es posible llevar una carga de prueba de un lado al otro de la carga puntual).

Hay un errorcito que se me olvidaba mencionar. En tu última ecuación donde calculas C3 dices que x=0 en una ecuación que has establecido que es válida en x<0. ¿Es chicha o es limonada?

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Gráfico campo y potencial eléctrico.

Mi buen amigo, como te gusta complicarte la vida.

Lo sé, si tomara el camino fácil probablemente "nunca" me hayan surgido estas dudas :P.

Si el problema no te obliga, ¿por qué eliges el origen en la posición del plano? Mucho simplificarías si eliges el origen en la posición de la carga puntual.

Para "hacer más fácil la continuidad", o eso creía.

Seguramente estás estudiando Física y no Ingeniería

Jajajajaja, efectivamente .

Tu notación también pone las cosas mas confusas. Por ejemplo deberías escribir

$$\vec{E}_{\pi}(x)=\left\{\ \begin{matrix} \dst - \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}, & x < 0 \\ \\ \dst \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{i}, & x>0 \end{matrix}\right.$$

En ciertos casos lo hago así, pero cuando se trata de calcular cosas por separado, me gusta usar esta notación para indicar de dónde sale, aquí sólo he puesto los resultados, así que creo que debería haberlo hecho así.

Ahora, estás planteando un problema interesantemente pelúo, hallar los valores de las constantes C para hacer continua una función que es discontinua precisamente en donde quieres establecer la continuidad Yo te digo honestamente que yo me rindo.

Sé que será discontinua a pesar de lo que le quiera poner, pero el tema está ¿Cúal sería el correcto? Aunque teniendo en cuenta que no tendría sentido hablar del trabajo por unidad de carga que debo realizar para pasar una carga de prueba atravesando una fija :P.

Si quisiera tomar como origen de potencial en la posición de la carga q, pues debería buscar un valor para el cual se anulase en dicho punto, pero la función tiende a infinito, y con una constante finita no puedo hacer nada.
Y suponiendo que fuera posible, si tuviese un ejercicio en el que aparece un plano cargado uniformemente y dos cargas alineadas a una recta perpendicular al plano, pues tendría el mismo problema. Sí, podría definirla a trozos porque es discontinua, pero nuevamente sería arbitrario la constante que coloque en un intervalo y en otro.

Hay un errorcito que se me olvidaba mencionar. En tu última ecuación donde calculas C3 dices que x=0 en una ecuación que has establecido que es válida en x<0. ¿Es chicha o es limonada?
Al

Jajajaja, lo sé, en papel me había dado cuenta de este error y lo puse como el límite $\dst \lim_{x \to 0}V(x<0)$, pero aquí lo he omitido porque me estaban apurando .

¡Muchas gracias!

[Al2000]

Re: Problema: Gráfico campo y potencial eléctrico.

Mi versión, si acaso te sirve de algo...

Partiendo de los conocidos valores del potencial de la carga puntual y del plano

$\dst V_p(x) = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r\,,\quad V_\pi (x)=-\frac \sigma {2 \epsilon_0} x$

poniendo la carga puntual en el origen y el plano en $x=L>0$ se tiene

$\dst V(x) = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {|x|} - \frac \sigma {2 \epsilon_0} |x-L| + C$

donde $C$ es una constante a determinar. Poniendo que el potencial sea cero en el plano

$\dst V(L) = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q L + C = 0$

con lo cual queda

$\dst V(x) = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac 1 {|x|} - \frac 1 L\right) - \frac \sigma {2 \epsilon_0} |x-L|$

Derivando se obtiene el campo eléctrico de este potencial

$\dst \boldsymbol E(x) = \left(\frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac {|x|}{x^3} + \frac \sigma {2 \epsilon_0} \frac {|x-L|}{x-L}\right) \boldsymbol i$

El potencial se ve así



y el campo así



Saludos,

Al