1r ciclo Campo magnético generado por un solenoide.

[GNzcuber]

Hola a todos,

He estado viendo cómo se calcula el campo magnético en el interior de un solenoide, donde lo consideraré uniforme. Se puede calcular de dos formas, una con la ley de Biot-Savart, en la que se calcula el campo magnético generado por una espira en determinado punto y se integra por todas las espiras que actúan en dicho punto.

Campo magnético generado por una espira a lo largo de un eje que equidistante de cada punto de la espira:

$$\dst B=\frac{\mu_0IR^2}{2\sqrt{x^2+R^2}^3}$$

Ahora imaginemos un solenoide de longitud L = a+b, el cual lo centramos en el eje de las abscisas concéntricamente. La posición inicial de éste se encuentra en x=-a y su posición final en x=b. Para saber el campo generado por todal las espiras en un punto de su eje (donde dice en el libro explícitamente "cambiando I por n·I·dx"):

$$\dst B=\int {d}B=\frac{\mu_0nIR^2}{2}\int_{-a}^{b}\frac{|{d}\vec{x}\times \vec{u_r}|}{\sqrt{x^2+R^2}^3}=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\frac{b}{\sqrt{b^2+R^2}}+\frac{a}{\sqrt{a^2+R^2}}\right)$$

Sin embargo usando la ley de Ampere-Maxwell tomo una espira cuadrada de lado l y la coloco de tal manera que uno de sus lados sea paralelo al campo magnético generado y que cierto número de espiras atraviesen la superficie del cuadrado. Este número de espiras será proporcional a su longitud y vendrá dado por $\dst \left(\frac{l}{L}\right)N$, siendo L la longitud del solenoide y N el número de espiras que lo envuelve (o conforma :P).

$$\dst \oint \vec{B}{d}\vec{l}=\mu_0I_C+\varepsilon_0\frac{{d}\Phi_E}{{d}t}$$

Como no hay variación del flujo eléctrico el segundo término del segundo miembro se anula, y la corriente de desplazamiento es la suma de las intensidades que atraviesan la superficie del cuadrado: $\dst I_C=\left(\frac{l}{L}\right)NI$
Y como he escogido un cuadrado colocado de tal manera que una de sus aristas coincida con la dirección del flujo dentro de la espira, entonces $\dst \vec{B}\cdot {d}\vec{l}=B{d}l$.

$$\dst \oint\vec{B}{d}\vec{l}=B\oint{d}l=B\cdot l=\mu_0\left(\frac{l}{L}\right)NI\Rightarrow B=\mu_0\left(\frac{N}{L}\right)I=\mu_0nI$$

No veo que se parezcan mucho, y no coinciden dimensionalmente.

¡Gracias!

[Editado]= He visto que si a y b son muy grandes, es decir en un solenoide infinito, las fórmulas se asemejarían.
P.D.: Ya he visto que dimensionalmente coinciden, pues nada, error mío. Caso cerrado.

[Sartie]

Re: Campo magnético generado por un solenoide.

Buen trabajo GNzcuber, te has respondido tu sólo. A veces hay que pararse un buen rato antes de preguntar una duda e intentar resolverla tu mismo, como has hecho aquí, enhorabuena

[Al2000]

Re: Campo magnético generado por un solenoide.

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He estado viendo cómo se calcula el campo magnético en el interior de un solenoide...
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Si me permites un comentario, sugeriría quitar el término $|{d}\vec{x}\times \vec{u_r}|$ en tu desarrollo y dejar simplemente $dx$ ya que no estás aplicando la ley de Biot-Savart sino tan solo sumando los campos en el eje de infinitas corrientes circulares de valor $n I dx$.

Saludos,

Al