1r ciclo Calcular campo electrico (algo complicado)

[dany_nash]

Hola, hace tiempo que tengo este problema, que por lo menos yo no s'e como hacerlo (m'as bien porque la matematica me limita) les dejo el problema, espero que un iluminado lo sepa resolver .

Considere un cuadrado cargado en el plano xy desde $-a\leq x\leq a$ , $-a\leq y\leq a$ , con una densidad de carga superficial definida como :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Calcular el campo electrico a una distancia $a$ del eje $z$

de ante mano muchas gracias

[Al2000]

Re: Calcular campo electrico (algo complicado)

...
Considere un cuadrado cargado en el plano xy desde $-a\leq x\leq a$ , $-a\leq y\leq a$ , con una densidad de carga superficial definida como :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Calcular el campo electrico a una distancia $a$ del eje $z$
...

Traduciendo a palabras llanas el problema, tienes una carga distribuída sobre un cuadrado de lado $2a$, centrado en el origen de coordenadas, en el plano $xy$. La densidad de carga varía solo con $x$ y es simétrica tanto en dirección $x$ como en dirección $y$ de modo que no deben existir componentes del campo (en el eje $z$) en estas direcciones.

Partiendo del campo de la carga puntual

$$\boldsymbol E = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac {\boldsymbol r}{r^3}$$

y dividiendo el cuadrado en "cuadritos" de área $dx\,dy$, el campo producido por el elemento de carga de coordenadas $(x,y)$ vale

$$d\boldsymbol E = \frac {\sigma\,dx\,dy} {4 \pi \epsilon_0} \frac {-x\,\boldsymbol i - y \,\boldsymbol j + z \boldsymbol k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$

e integrando a todo el cuadrado

$$\boldsymbol E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0 a^4} \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {(-x\,\boldsymbol i - y \,\boldsymbol j + z \boldsymbol k)\,x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$$

Aprovechando la simetría ($\dst E_x = E_y =0$) el problema se "reduce" a evaluar la integral

$$E = E_z = \frac {Q\,z} {4 \pi \epsilon_0 a^4} \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$$

El resto te lo dejo a ti. El computador me dió como resultado de la integral una expresión compleja con unas arcotangentes hiperbólicas y me dio pereza ver si se pueden reducir a una expresión sencilla.

Cuando pones $z=a$ en (4) el resultado de la integral es $6.8227 a^2$ con lo cual el resultado del campo es $\dst E_z = \frac {1.7057 Q}{\pi \epsilon_0 a^2}$.

Saludos,

Al

[dany_nash]

Re: Calcular campo electrico (algo complicado)

Traduciendo a palabras llanas el problema, tienes una carga distribuída sobre un cuadrado de lado $2a$, centrado en el origen de coordenadas, en el plano $xy$. La densidad de carga varía solo con $x$ y es simétrica tanto en dirección $x$ como en dirección $y$ de modo que no deben existir componentes del campo (en el eje $z$) en estas direcciones.

Partiendo del campo de la carga puntual

$$\boldsymbol E = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac {\boldsymbol r}{r^3}$$

y dividiendo el cuadrado en "cuadritos" de área $dx\,dy$, el campo producido por el elemento de carga de coordenadas $(x,y)$ vale

$$d\boldsymbol E = \frac {\sigma\,dx\,dy} {4 \pi \epsilon_0} \frac {-x\,\boldsymbol i - y \,\boldsymbol j + z \boldsymbol k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$

e integrando a todo el cuadrado

$$\boldsymbol E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0 a^4} \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {(-x\,\boldsymbol i - y \,\boldsymbol j + z \boldsymbol k)\,x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$$

Aprovechando la simetría ($\dst E_x = E_y =0$) el problema se "reduce" a evaluar la integral

$$E = E_z = \frac {Q\,z} {4 \pi \epsilon_0 a^4} \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$$

El resto te lo dejo a ti. El computador me dió como resultado de la integral una expresión compleja con unas arcotangentes hiperbólicas y me dio pereza ver si se pueden reducir a una expresión sencilla.

Cuando pones $z=a$ en (4) el resultado de la integral es $6.8227 a^2$ con lo cual el resultado del campo es $\dst E_z = \frac {1.7057 Q}{\pi \epsilon_0 a^2}$.

Saludos,

Al

Gracias por la respuesta , pero justamente quedaba en la integral (4) y no sabia como calcularla xD, salvo maple .Quiz'as debia haber puesto hasta donde quede estancado.

Se puede resolver por metodos convencionales ? o hay q recurrir a otras herramientas?

[Metaleer]

Re: Calcular campo electrico (algo complicado)

Con Mathematica, he podido llegar a la siguiente expresión para la integral doble $\displaystyle \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$:

$\displaystyle 2 a \left(\ln \left(\sqrt{2 a^2+z^2}+a\right)-\ln \left(\sqrt{2<br /> a^2+z^2}-a\right)\right)-4 z \cot ^{-1}\left(\displaystyle \frac{z \sqrt{2<br /> a^2+z^2}}{a^2}\right),$

y eso cuando le he pedido explícitamente que simplifique, así que no parece demasiado razonable que te pidan integrar eso. ¿Tienes la opción de dejarla indicada?

[dany_nash]

Re: Calcular campo electrico (algo complicado)

Con Mathematica, he podido llegar a la siguiente expresión para la integral doble $\displaystyle \int_{-a}^a \int_{-a}^a \frac {x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx$:

$\displaystyle 2 a \left(\ln \left(\sqrt{2 a^2+z^2}+a\right)-\ln \left(\sqrt{2<br /> a^2+z^2}-a\right)\right)-4 z \cot ^{-1}\left(\displaystyle \frac{z \sqrt{2<br /> a^2+z^2}}{a^2}\right),$

y eso cuando le he pedido explícitamente que simplifique, así que no parece demasiado razonable que te pidan integrar eso. ¿Tienes la opción de dejarla indicada?

Gracias , ya me estaba bajoneando porq no podia integrar eso xD..
La verdad era un ejercicio que me venia persiguiendo hace tiempo jajaja, queria salir de la duda si la matematica para resolverlo era complicada, y pues ya veo que si lo era.

[Al2000]

Re: Calcular campo electrico (algo complicado)

Aquí tienes una versión ligeramente mas sencilla, fácilmente obtenible a partir del resultado brindado por Metaleer, cortesía de Derive 6:

$$\int_0^a \int_0^a \frac {x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dy\,dx = a \ln \left(\frac {a + \sqrt {2 a^2+z^2}}{\sqrt {a^2+z^2}}\right)- z \, \mathrm {sen}^{-1} \left(\frac {a^2}{a^2+z^2}\right)$$

Nota el cambio en el límite inferior de cada integral para aprovechar la simetría.

Saludos,

Al