Otras carreras Relacion potencial electrico con campo electrico.

[Salvadiaz]

Buenas noches. Quisiera y agradeceria que me explicasen como hacer el apartado a) del siguiente problema que se muestra en el archivo adjunto. El profesor insistio en que era importante. No consigo dar con la solucion exacta. Se el significado fisico del potencial y su relacion con el campo, este tiende a los potenciales decrecientes, asi que es logico que la solucion venga con los vectores unitarios negativos. Seguro se hace mediante la ecuacion E=-gradiente*V, donde E=campo y V=potencial. Gracias por adelantado!

PD: no puedo escribir con acentos debido a la 'averia' de esa tecla... xD. Disculpen las faltas.

Un saludo.

[GNzcuber]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

Hola,

Me gusta expresar las soluciones más matemáticamente, pero en este caso no sé cómo, así que te digo que a "simple vista" el potencial eléctrico cumple:

$$\dst V(x,y)=[10(x+y)-20]V$$

Para hallar el campo:

$$\dst -\nabla\cdot V(x,y)=-10\vec{i}-10\vec{j}$$

El trabajo para llevar una carga Q de A a B será:

$$\dst W=Q\cdot \Delta V$$

$$\dst W=Q\left[10(x_2+y_2)-20-10[(x_1+y_1)-20]\right]=10Q\left(x_2-x_1+y_2-y_1\right)$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¡Saludos!

P.D.: Se me ha ocurrido como poder ayudarte a hallar el potencial matemáticamente. Cada línea representa un potencial constante y matemáticamente estas gráficas son del estilo:

$$\dst y=-x+C$$

La función será entonces:

$$\dst V(x,y)=x+y-C$$

Pero luego no sé continuar, esto debe corresponder a varias variables :P.

He visto que el trabajo me salió opuesto .

Pero como la carga se movió de un potencial menor, estaba en (0,4) que corresponde a 20V, a uno mayor, (8,0) que corresponde a 60V, es que se ha movido a lo largo de las líneas del campo decreciente, por tanto el trabajo lo tuvo que haber hecho el campo.

[Salvadiaz]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

Muchas gracias, lo intentare de nuevo. Un saludo!.

[Al2000]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

...
Me gusta expresar las soluciones más matemáticamente, pero en este caso no sé cómo, así que te digo que a "simple vista" el potencial eléctrico cumple:

$$\dst V(x,y)=[10(x+y)-20]V$$

...

P.D.: Se me ha ocurrido como poder ayudarte a hallar el potencial matemáticamente. Cada línea representa un potencial constante y matemáticamente estas gráficas son del estilo:

$$\dst y=-x+C$$

La función será entonces:

$$\dst V(x,y)=x+y-C$$

Pero luego no sé continuar, esto debe corresponder a varias variables :P.

He visto que el trabajo me salió opuesto .

Pero como la carga se movió de un potencial menor, estaba en (0,4) que corresponde a 20V, a uno mayor, (8,0) que corresponde a 60V, es que se ha movido a lo largo de las líneas del campo decreciente, por tanto el trabajo lo tuvo que haber hecho el campo.

Si uno estuviese partiendo de datos experimentales, uno graficaría los datos de V(x,y) con la esperanza de reconocer alguna forma funcional sencilla a la cual ajustar los valores obtenidos. De no poder visualizar alguna relación funcional sencilla uno podría proceder a ajustar alguna "superficie" V(x,y) a los datos obtenidos, teniendo incluso el chance de reconocer la ecuación o conseguir pistas para mejorar el modelo/ajuste.

En este problema se puede reconocer en la figura provista que el potencial varía linealmente con las coordenadas. Ver que las "superficies" equipotenciales son líneas rectas igualmente espaciadas inmediatamente nos sugiere un plano. Intentamos entonces ajustar un plano a los datos y comprobamos la calidad del ajuste. En este caso, claro, el ajuste es perfecto.

Usando la ecuación del plano que pasa por tres puntos, tomados directamente de la gráfica, podríamos plantear

$$<br /> \left |\begin{matrix}<br /> x & y & V & 1 \\<br /> 2 & 0 & 0 & 1 \\<br /> 4 & 0 & 20 & 1 \\<br /> 0 & 6 & 40 & 1 <br /> \end{matrix}\right | = 0<br />$$

de donde sale la ecuación que dedujiste "a simple vista".

De resto tu cálculo es impecable y el agente externo que mueve la carga puntual tiene que hacer un trabajo de $-80 \,\mathrm{\mu J}$. Que se considere que por ser negativo el trabajo es hecho sobre el agente externo por el campo eléctrico es, para mi, mas una cuestión de gustos.

Saludos,

Al

[Salvadiaz]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

Al sacar la ecuacion de las rectas del potencial en la figura, ¿como hallo esa constante C?, que ha de ser 20 segun escribiste al principio. No lo entiendo muy bien , y tampoco ese 10 que acompaña multiplicando al 'x+y'. Quizas el trabajo salga opuesto porque sea Q*(V1-V2), de este modo, el resultado queda positivo. Gracias de nuevo!.

[GNzcuber]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

Hola Salvadiaz,

Al ya te ha puesto la forma matemática de encontrar la expresión, lo único que no entiendo es el por qué de la columna de unos, y supono que es para indicar que son superficies equipotenciales (o sea constantes).

Como no he hecho cálculo en varias variables no podría ayudarte mucho en esta parte. Pero sabiendo la forma general y sustituyendo la cantidad de datos para un caso, tantos casos como incógnitas tengas (que de datos en el gráfico tendrás de sobras), obtendrás un sistema de ecuaciones. Es más, es lo que veo que ha hecho Al, luego esos unos corresponden a que son planos equipotenciales, $\dst z=C$ y como C aparece en toda una línea se la puede simplificar hasta que nos quede uno, y haciendo el determinante se halla la ecuación general del sistema.

Ahora lo entiendo mejor, gracias nuevamente compañero .

Salvadiaz, espero que lo hayas entendido, es lo mismo que hacías en bachillerato (supongo) para hallar ecuaciones generales de planos con tres datos conocidos, las ecuaciones generales eran:

$$\dst \pi:\quad Ax+By+Cz=0$$

Sustituyendo tres puntos no colineales, obtendrías un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

¡Saludos!

[Salvadiaz]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

Muchas gracias GNzcuber, lo intentare como tu has dicho que parece ser sencillo .

[Al2000]

Re: Relacion potencial electrico con campo electrico.

...
Al ya te ha puesto la forma matemática de encontrar la expresión, lo único que no entiendo es el por qué de la columna de unos, y supono que es para indicar que son superficies equipotenciales (o sea constantes).
...

La ecuación de un plano que pasa por tres puntos no colineales es

$$\left |\begin{matrix}<br /> x & y & z & 1 \\<br /> x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\<br /> x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\<br /> x_3 & y_3 & z_3 & 1 <br /> \end{matrix}\right | = 0<br />$$

cuestión que alguien con mas conocimientos de álgebra que los míos pudiera explicar.

Saludos,

Al