Otras carreras Problema espira cuadrada.

[Salvadiaz]

Muy buenas!
Tengo el siguiente problema y, excepto por un '2', no me coincide el resultado . El problema es el siguiente:

Una espira cuadrada de lado $\text{l}$ esta en el plano $\text{yz}$ con su centro en el origen. Transporta una corriente $\text{I}$. Determinar el campo magnetico $\text{B}$ en cualquier punto del eje $\text{x}$ y demostrar que para $\text{x}$ mucho mayor que $\text{l}$,

$\text{B}$$\text{=}$$\frac{2\mu\tau }{4\pi{x}^{3 } }$

Donde $\tau=I{l}^{2 }$ es el momento magnetico de la espira.

Al final me queda la siguiente solucion:

$\text{B}$=$\frac{\mu\tau }{4\pi{x}^{ 3} }$

He llamado x a la distancia que separa el centro de la espira del punto P donde se halla el campo.



Muchas gracias y un saludo!.

[Al2000]

Re: Problema espira cuadrada.

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EDITO: que torpe... ya esta, fallo de cuentas de 1º de la ESO, al hacer la integral. Me pasa por hacerlo rapido y no fijarme bien en lo que hago. De todos modos, que sirva como ayuda a quien lo necesite.
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Lamento ser portador de malas noticias, pero te dió de chiripa (Venezuela: por pura casualidad). Hay varios errores en tu procedimiento y como lo estás dejando "para que sirva a quien lo necesite" creo que sería provechoso hacerte unas cuantas observaciones.

Lo primero es respecto al procedimiento global. Si deseas calcular el campo de la espira cuadrada usando la ley de Biot-Savart, debes estar mentalmente preparado para describir la corriente mediante una ecuación que necesariamente tendrá cuatro partes diferentes, ya que el vector $d \boldsymbol l$ para cada uno de los lados tiene una ecuación diferente. Es decir, si tu quieres calcular el campo en una sola operación, debes resolver la integral

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{4 \pi } \oint_C \frac {d \boldsymbol l \times \boldsymbol r}{r^3}$$

donde $C$ es la curva orientada que describe la corriente. Como ejemplo, si plantas tu espira de lado $l$ en el plano YZ y centrada en el origen, la curva $C$ vendría dada por los segmentos rectilíneos

$$C =\cancel{<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> -|y| \boldsymbol j, & &-l/2 \le y \le l/2,&\,\, z = l/2 \\<br /> -|z| \boldsymbol k, & &-l/2 \le z \le l/2,&\,\, y = l/2 \\<br /> |y| \boldsymbol j, & &-l/2 \le y \le l/2,&\,\, z = -l/2 \\<br /> |z| \boldsymbol k, & &-l/2 \le z \le l/2,&\,\, y = -l/2<br /> \end{aligned}\right .}<br />$$

$$C =<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> (0&,\frac 1 2 - t, \frac 1 2) l, & 0 \leqslant t& \leqslant 1 \\<br /> (0&,- \frac 1 2,\frac 3 2 - t) l, & 1 \leqslant t& \leqslant 2 \\<br /> (0&,-\frac 5 2 + t, -\frac 1 2) l, & 2 \leqslant t& \leqslant 3 \\<br /> (0&,\frac 1 2,-\frac 7 2 + t) l, & 3 \leqslant t& \leqslant 4<br /> \end{aligned}\right .<br />$$

donde tomé la corriente orientada en sentido antihorario, es decir, con el momento magnético alineado con el eje X.

Pero trabajar con esta expresión es engorroso, y mas que eso, es inútil, ya que es fácil reconocer que cada uno de los cuatro lados es equivalente a los demás y podemos resolver el problema calculando el campo de un sólo lado haciendo luego la suma vectorial de los campos de los cuatro lados.

Dicho esto, vamos con observaciones específicas. Ya de entrada tienes un error, si tu quieres lo llamas de notación, pero error al fin. Puesto que el problema ha especificado que la longitud del lado es $l$, tu no deberías usar la misma letra para el elemento de longitud, para no caer en absurdos como caes mas adelante donde tienes una integral con $l$ jugando el doble papel de variable y de constante. Entonces deberías cambiar la notación y usar en la ley de Biot-Savart $d \boldsymbol s$, por ejemplo, o cualquier otro símbolo de tu gusto.

En la misma primera línea de tu solución tienes un error importante. El ángulo entre el diferencial de longitud (lo llamaré) $d \boldsymbol s$ y el radiovector $\boldsymbol r$ no es de 90°. De hecho no es ni siquiera constante. Allí tendrías que incluirlo en el desarrollo y permíteme llamarlo $\alpha$ para no confundirlo con el ángulo $\theta$ que usas mas adelante. Y también erras cuando dices que $r = \sqrt {x^2 + (l/2)^2}$, lo cual es cierto únicamente cuando el elemento de corriente que estás considerando está en el centro de un lado, pero no es cierto para ninguna otra posición. Por ejemplo, si se tratase del lado superior de la curva $C$ en (2), entonces $r$ valdría $r = \sqrt {x^2 + y^2 + (l/2)^2}$, donde el "$l/2$" es la coordenada $z$ ($d \boldsymbol s$ valdría $d \boldsymbol s = - dy\, \boldsymbol j$, $\boldsymbol r$ valdría $\boldsymbol r = x\, \boldsymbol i - y\, \boldsymbol j - (l/2)\,\boldsymbol k$, y el ángulo valdría $\mathrm {sen} \, \alpha = y/r$)

Estos dos errores se enmiendan cuando mas adelante multiplicas por $\, \mathrm {sen} \, \theta = l/(2r)$ y haces una integral extraña donde la $l$ en el numerador la tomas como una variable pero la $l$ del denominador la consideras constante. En fin, que resulta asombroso que hayas "llegado" al resultado correcto.

Mi consejo: No intentes resolver la espira como un todo. Ataca el problema dividiéndolo en partes mas sencillas, y calcula el campo sobre la línea media de un lado. En el hilo Campo Magnetico hay algo de información que te puede ser de utilidad.

Una vez que conozcas el campo que produce uno de los lados de la espira, usa el principio de superposición y suma vectorialmente los campos de los cuatro lados.

Inténtalo y si necesitas ayuda con algún paso, pues preguntas y listo.

Saludos,

Al

[Salvadiaz]

Re: Problema espira cuadrada.

Muchas gracias por la respuesta, Al. Si que me salio de chiripa... es mas complicado de lo que pensaba. Luego me pondre a ello a ver si me sale bien.

Un saludo

[carmelo]

Re: Problema espira cuadrada.

Hola:
Voy a tratar de desarrollar un poco más lo que ya se ha planteado.

Como ya se ha dicho se debe de emplear la ley de Biot-Savart, pero para cada lado del cuadrado.
No voy a adjuntar un esquema, pero es bueno que se hagan uno para poder seguir el desarrollo.

Voy a tomar que la corriente circula en dirección tal que el campo magnetico generado es positivo a lo largo del eje x.
Lo que voy a hacer es encontrar el campo magnético generado por los lados opuestos, y luego por simetría hallar el de los otros dos.
Yo voy a tomar los que corren a lo largo del eje z, pero se pueden tomar los que corren a lo largo del eje y que es lo mismo.

Vamos a concentrarnos ahora en el lado que se encuentra en las y positivas.
Primero expresemos el elemento diferencial $\dd \vec{\ell}=\dd z \hat{z}$
Luego expresemos el radio vector $\vec{r}= x \hat{x}-\dst\frac \ell 2\hat{y}-z\hat{z}$
$\dd \vec{\ell }\times \vec{r}=\left(-x \hat{y}+\dst\frac \ell 2\hat{x} \right)\dd z$
$\dd \vec{B} _{+}=\dst\frac{\mu_0I}{4\pi}\dst\frac{\left( -x\hat{y}+\dst\frac{\ell }{2}\hat{x}\right)}{\left(x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}+z^2\right)^{\dst\frac32}}\dd z$

Ahora hagamos lo mismo para el lado que corre en el sentido de las z negativas:
El elemento diferencial es en este caso: $\dd \vec{\ell}=-\dd z \hat{z}$
El radio vector correspondiente es: $\vec{r}= x \hat{x}+\dst\frac \ell 2\hat{y}-z\hat{z}$
$\dd \vec{\ell }\times \vec{r}=\left(x \hat{y}+\dst\frac \ell 2\hat{x} \right)\dd z$
$\dd \vec{B} _{\_}=\dst\frac{\mu_0I}{4\pi}\dst\frac{\left(x\hat{y}+\dst\frac{\ell }{2}\hat{x}\right)}{\left(x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}+z^2\right)^{\dst\frac32}}\dd z$

Sumando las contribuciones de ambos lados se tiene:
$\dd \vec{B}=\dst\frac{\mu_0I}{4\pi}\dst\frac{\ell \hat{x}}{\left(x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}+z^2\right)^{\dst\frac32}}\dd z$
y el campo magnético generado por dos de los lados es:
$\vec{B}=\dst\frac{\mu_0I}{4\pi}}\dst\int^{\frac\ell 2}_{\frac{-\ell} 2} \dst\frac{\ell\hat{x}}{\left(x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}+z^2\right)^{\dst\frac32}}\dd z$
Ahora hay que resolver esta integral, que se puede hacer como sigue:

Consideremos el trianguo formado por el punto P(x,0,0), el punto A(0,$\frac\ell 2$,0) y B(0,$\frac\ell 2$,$z$) y consideremos el ángulo $\theta$ formado por el vértice P.
Se tienen las siguientes relaciones:
$r=\dst\frac{\sqrt{x^2+\dst\frac{\ell^2 }{4}}}{\cos\theta}\Rightarrow r^3=\dst\frac{{\left(x^2+\dst\frac{\ell^2 }{4}\right)^\frac32}}{\cos^3\theta}$

$z=\sqrt{x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}}\tan\theta\Rightarrow \dd z=\dst\frac{\sqrt{x^2+\dst\frac{\ell ^2}{4}}}{\cos^2\theta}\dd \theta$

Ahora llamemos $\theta_0$ el valor de $\theta$ cuando $z=\frac{\ell }{2}\Rightarrow \sin\theta_0=\dst\frac{\dst\frac{\ell}{2}}{\sqrt{\dst\frac{\ell^2}{2}+x^2}}}$

Sustituyendo en la integral se tiene (Recordemos que el campo corresponde a 2 lados opuestos de los cuatros de la espira):
$\vec{B}=\dst\frac{\mu_0I\ell }{4\pi\left(\dst\frac{\ell ^2}{4}+x^2\right)}\int ^{\theta_0}_{-\theta_0}\cos\theta \dd \theta \hat{x}= \dst\frac{\mu_0I\ell }{4\pi\left(\dst\frac{\ell ^2}{4}+x^2\right)}(2\sin\theta_0) \hat{x} =\dst\frac{\mu_0I\ell }{4\pi\left(\dst\frac{\ell ^2}{4}+x^2\right)}\dst\frac{\ell}{\sqrt{\dst\frac{\ell^2}{2}+x^2}}} \hat{x}$ y por lo tanto el campo correspondiente a la espira completa es el doble y vale:

$\vec{B}=\dst\frac{\mu_0I\ell^2 }{2\pi\left(\dst\frac{\ell ^2}{4}+x^2\right)\sqrt{\dst\frac{\ell^2}{2}+x^2}}} \hat{x}$

consideremos el caso limite $x\gg \ell \Rightarrow$

$\vec{B}=\dst\frac{\mu_0I\ell^2 }{2\pi x^3} \hat{x}$

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Problema espira cuadrada.

Se te coló un pequeño errorcillo en ambos productos vectoriales. Debería ser $\hat z \times \hat x = \hat y$ y pusiste lo contrario.

Saludos,

Al

[Salvadiaz]

Re: Problema espira cuadrada.

Gracias por el desarrollo, no estaba muy preparado como para resolverlo.. Lo escogi en el libro Typler creyendo que iba a ser mas sencillo. Muchas gracias, si me ponen un problema relacionado con este me resultara bastante mas facil.

Saludos!

[carmelo]

Re: Problema espira cuadrada.

Hola, es cierto lo del producto vectorial. Lo que pasa es que había supuesto la corriente en el sentico opuesto y decidí cambiarla para que el campo fuera a lo largo de las x positivas. Omití cambiarle el signo, y como no afectan en el resultado final no lo percaté.


Saludos
Carmelo