2o ciclo Ley de Ampere

[rruisan]

Buenas tardes! Les queria pedir favor si alguien me puede orientar como hacer estos problemas. De antemano muchas gracias!

1.-Una corriente I' se distribuye uniformemente sobre un cilindro muy largo cuya seccion circular tiene un radio a. El eje del cilindro coincide con el eje z. I' esta en la direccion de z positiva. Una corriente I muy larga se encuentra paralela al eje z; su direccion es tambien la de z positiva. I cruza el eje x positivo a una distancia d del origen. Encontrar la fuerza por unidad de longitud sobre la corriente I.

2.- Se enrolla un almabre en forma de helice con angulo de inclinacion $\alpha$ sobre la superficie de un cilindro de radio a, de manera que se forma N vueltas complejas. Si el alambre conduce una corriente I', demostrar que la componente axial de la induccion producida en el centro de la helice es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

3.- Un determinado campo B esta dado en coordenadas cilindricas como B=0 para $0<\rho<a$, $B=(\frac{\mu_0I}{2\pi\rho})[\frac{(\rho^2-a^2)}{(b^2-a^2)}]\vec{\phi}$ para $a<\rho<b$ y $B=(\mu_0\frac{1}{2}\pi\rho)\vec{\phi}$ para $b<\rho$. Encontrar la densidad de corriente de J en todo lugar ¿Como se podria producir una B de este tipo?

[GNzcuber]

Re: Ley de Ampere

Hola rruisan,

Te puedo orientar un poco con el primero, ya que deberás nuevamente imaginarte que el cilindro está compuesto por infinitos cables que ejercen una fuerza sobre el que se encuentra en d. Para hallar la fuerza por unidad de longitud para cada uno de estos cables que componen el cilindro tienes:

$$\dst {d}\bold{F}=I\cdot {d}\bold{l}\times\bold{B}=\frac{\mu_0\cdot I}{4\pi}\cdot {d}l\cdot \bold{u_l}\times\frac{I'_i\bold{u_i}\times\bold{u_{r_i}}}{r_i^2}$$

$$\dst \left|\frac{{d}\bold{F}}{{d}l}\right|=\frac{{d}F}{{d}l}=\frac{\mu_0\cdot I\cdot I_i'}{4\pi}\cdot \left|\bold{u_l}\times\frac{\bold{u_i}\times\bold{u_{r_i}}}{r_i^2}\right|$$

En donde $\dst r_i$ es la distancia de cada intensidad $\dst I_i$ que compone el cilindro, el vector $\dst \bold{u_l}$ indica vectorialmente el sentido positivo de la intensidad de corriente del conductor en d, el mismo papel desempeña $\dst \bold{u_i}$ para cada intensidad del conductor, y $\dst \bold{u_{r_i}}$ es el versor que indica la dirección desde el diferencial de longitud del conductor hasta el punto donde se quiere hallar el campo.

¡Vamos! Es la parte magnética de la Fuerza de Lorentz, en donde el campo es sustituido aplicando la ley de Biot-Savart.

Para integrarlo no te puedo ayudar, si fuese un sólido en el cual cada sección transversal fuese un cuadrado ya podría animarme.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

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1.-Una corriente I' se distribuye uniformemente sobre un cilindro muy largo cuya seccion circular tiene un radio a. El eje del cilindro coincide con el eje z. I' esta en la direccion de z positiva. Una corriente I muy larga se encuentra paralela al eje z; su direccion es tambien la de z positiva. I cruza el eje x positivo a una distancia d del origen. Encontrar la fuerza por unidad de longitud sobre la corriente I.
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Asumiendo que $d>a$ la fuerza por unidad de longitud se calcula igual que si fueran dos corrientes filamentarias, ya que una corriente distribuida uniformemente en un cilindro se comporta en puntos exteriores igual que un filamento. Entonces

$$\frac F L = \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi d}\,,\quad d>a$$

La fuerza será de atracción entre las corrientes.

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2.- Se enrolla un almabre en forma de helice con angulo de inclinacion $alpha$ sobre la superficie de un cilindro de radio a, de manera que se forma N vueltas complejas. Si el alambre conduce una corriente I', demostrar que la componente axial de la induccion producida en el centro de la helice es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
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En este problema he sido incapaz de llegar al resultado que pones y creo que es incorrecto, pero podría estarme echando un pelón. Tampoco veo que el problema encaje en "Ley de Ampere". Te pongo un desarrollo usando la ley de Biot-Savart a ver si podemos usar el resultado como base de discusión.

Considera un conductor enrollado en hélice a lo largo del eje $Z$ en un sistema de coordenadas cilíndricas. Lamento no tener a mano un gráfico apropiado así que espero ser claro en la descripción del desarrollo.

Un elemento de corriente $I\,d \boldsymbol l$ produce en el origen de coordenadas un campo magnético

$$d \boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{4 \pi }\frac {d \boldsymbol l \times \boldsymbol r}{r^3}$$

Considera una hélice de radio $R$ y paso $p$. Podemos escribir, en función de la coordenada $\theta$ del elemento de corriente

$$z = \frac p {2 \pi } \theta$$

$$d \boldsymbol l = R \, d \theta\, \boldsymbol u_\theta + \frac p {2 \pi }\,d \theta \,\boldsymbol u_z$$

$$\boldsymbol r = -R\, \boldsymbol u_r - \frac p {2 \pi } \theta \,\boldsymbol u_z$$

Entonces, haciendo los correspondientes productos vectoriales, queda la integral

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{4 \pi } \int_{-N \pi }^{N \pi} \frac {- \frac p {2 \pi } R \theta \,\boldsymbol u_r - \frac p {2 \pi } R \,\boldsymbol u_\theta + R^2 \, \boldsymbol u_z}{\left[R^2 + \left(\frac p {2 \pi }\right)^2 \theta ^2\right]^{3/2}}\, d \theta$$

Como sólo te piden la componente axial, yo no me he molestado en calcular las componentes radial y transversal. La componente axial resulta

$$B_z = \frac {\mu_0 I}{4 \pi } \int_{-N \pi }^{N \pi} \frac {R^2}{\left[R^2 + \left(\frac p {2 \pi }\right)^2 \theta ^2\right]^{3/2}}\, d \theta = \frac {\mu_0 N I}{\sqrt {4 R^2 + N^2 p^2}}$$

Haciendo los cambios $I \to I'$, $R \to a$ y $p \to 2 a \tan \alpha$ para comparar con tu resultado, se tiene la expresión

$$B_z = \frac {\mu_0 N I'}{2 a} (1 + N^2 \tan ^2 \alpha)^{-1/2}$$

Así que tu me dirás si es un error en el enunciado o simplemente un pelón mas de un servidor

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3.- Un determinado campo B esta dado en coordenadas cilindricas como B=0 para $0<\rho<a$, $B=(\frac{\mu_0I}{2\pi\rho})[\frac{(\rho^2-a^2)}{(b^2-a^2)}]\vec{\phi}$ para $a<\rho<b$ y $B=(\mu_0\frac{1}{2}\pi\rho)\vec{\phi}$ para $b<\rho$. Encontrar la densidad de corriente de J en todo lugar ¿Como se podria producir una B de este tipo?

Se parece mucho al campo de un cable hueco, pero tienes que corregir el tercer campo antes de emitir alguna opinión. Mira que el valor que escribiste no es dimensionalmente correcto (no es un campo magnético). De hecho la cantidad que escribiste tiene unidades de inductancia.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Ley de Ampere

Hola:

Coincido con lo expuesto con Al para el 2) problema. La única discrepancia que encuentro es la expresión para $\tan\alpha$. Yo obtengo $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2\pi a}$ en lugar de $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2a}$ de ahi proviene la diferencia en el factor de $\pi^2$. Despues en el enunciado del problema el exponente debe de ser el que plantea Al, o sea $-\frac12$ en lugar de $\frac12$, quizas sea un error al tipear la formula.

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

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Coincido con lo expuesto con Al para el 2) problema. La única discrepancia que encuentro es la expresión para $\tan\alpha$. Yo obtengo $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2\pi a}$ en lugar de $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2a}$ de ahi proviene la diferencia en el factor de $\pi^2$...

carmelo, yo creo que te equivocas. Si proyectas la hélice en un plano que contenga al eje Z, la hélice se verá como una línea en zigzag. El paso $p$ sería la distancia entre dos vértices del mismo lado de la proyección. Se forma un triángulo isósceles de base $p$ y altura $a$ siendo $\alpha$ el ángulo de un lado con la perpendicular al eje:




Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Ley de Ampere

Hola:
Desde mi punto de vista el ángulo $\alpha$ debería ser la pendiente de la trayectoria cuando se recorre la hélice. Considerando el elemento diferencial [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , vemos que no tiene componentes en la direccción radial, entonces de la relación de las componentes, podes sacar que $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2\pi a}$.

Saludos
Carmelo

[carmelo]

Re: Ley de Ampere

Hola:
Al, la curva proyectada sobre un plano que contenga al eje z, no sería una sinusoide? (Ojo, lo digo intuitivamente, no hice números)

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

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Desde mi punto de vista el ángulo $\alpha$ debería ser la pendiente de la trayectoria cuando se recorre la hélice. Considerando el elemento diferencial [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , vemos que no tiene componentes en la direccción radial, entonces de la relación de las componentes, podes sacar que $\tan\alpha=\dst\frac{p}{2\pi a}$.
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¡Puff!, ese es un argumento difícil de rebatir. De todas formas me di cuenta de que cometí un error en mi planteamiento ya que donde puse a en el dibujo debería decir 2a y tendría que sustituir $p \to 4 a \tan \alpha$. Te confieso que no se me ocurrió sacar el ángulo de la dirección del elemento de longitud y que no veo por qué los dos enfoques no dan el mismo resultado.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

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Al, la curva proyectada sobre un plano que contenga al eje z, no sería una sinusoide? (Ojo, lo digo intuitivamente, no hice números)
...

Por supuesto. Bueno, me voy a rumiar mi vergüenza Gracias por las correcciones.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere

Gracias Al y caramelo! en el 2) problema tuve el error de dedo si lleva un menos en el exponente gracias por la correpcion! aun sigo en el proceso de hacer los problemas! cualquier duda espero me puedan ayudar!. Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

Chequea si el tercer campo en el último problema es $\dst B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi \rho }$. Si es así se trata del campo que produce un conductor cilíndrico hueco.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere

Al tengo la duda en el 2 problema como sacas cuanto vale z y quienes p! gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere

Al tengo la duda en el 2 problema como sacas cuanto vale z y quienes p! gracias de antemano!

$p$ es el paso de la hélice, es decir, la distancia entre dos vueltas consecutivas. Es el mismo concepto que se maneja cuando hablas del paso de un tornillo, por ejemplo, ya que la rosca es una hélice. Para obtener $z$ simplememte estableces una relación lineal con el ángulo. Yo consideré arbitrariamente que el valor de $z$ era cero para un ángulo cero y por otra parte $z$ se incrementa en un valor $p$ por cada vuelta ($\Delta \theta = 2 \pi$) de la hélice. De allí el valor usado en el problema.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere

otra duda Al! como obtengo las componentes de dl y r asi como los signos menos que esta ultima! Gracias de antemano!