2o ciclo Ley de Ampere 2

[rruisan]

Buenos dias! Les agradeceria si alguien me puede explicar com hacer estos problemas. Gracias de antemano!

1.- Considerese las dos corrientes rectas infinintamente largas que se muestran en la figura . I' coincide con el eje y. I es paralela al plano yz. Se encuentra a una distancia $\rho$ del mismo, cruza el eje x en y=z=0 y forma un angulo $\alpha$ con el plano xy, como esta mostrado. Demostrar que la fureza sobre Ide C ejercida por I' de C' es igual a $\frac{1}{2}\mu_0II'\cot\alpha \hat{x}$

Para este problema lo que me pude dar cuenta esque el resultado no es correcto ya que cuando el angulo es cero deberia obtener dos corrientes paralelas!

2.- Considerense los dos circuitos. Todas las corrientes se encuentran sobre el mismo plano. C' es infinitamente largo. LOs lados del rectangulo de longiud b son paraleos a C'. Encontrar la fuerza total sobre C.¿Es esta de atracci\'on o de repulsion?



3.- 13.9 Cuatro cables rectors muy largos conducen cada uno de ellos la misma corriente I. Todos son paralelos al eje z e intersectan el plano xy en los puentos (0,0), (a,0),(a,a) y (0,a). E L primero y el tercero tienen su corriente enla direccion de z positva.; los otros dos tienen sus corrientes en la direccion negativa de a. Encontrar la fuerza total por unidad de longitud sobre la corriente que corresponde al punto (a,a).

[GNzcuber]

Re: Ley de Ampere 2

Hola rruisan,

La fuerza entre dos conductores infinitos paralelos viene dado por:

$$\dst \left|{d}\bold{F_{1,2}}\right|=\left|I{d}\bold{l}\times\frac{\mu_0\cdot I'}{2\pi\cdot \rho'}\bold{u_\rho}\right|=\mu_0\frac{I\cdot I'{d}l}{2\pi\cdot\rho'}\sin(\theta)$$

Estoy tomando el campo de I' aplicado a la recta paralela a una distancia rho. Pero ésta distancia va aumentando y es simétrica respecto al eje de coordenadas, por lo tanto con calcular la parte positiva del eje y, por ejemplo, obtenemos el total multiplicando por dos.
La distancia entre las dos rectas en cada punto será $\dst \rho'=\sqrt{\rho^2+z^2}$, donde z, la altura está relacionada por la posición en y y el ángulo por $\dst z=y\cdot \tan(\alpha)$.

Se me estaba olvidando decir que el ángulo theta es un ángulo recto, lo puedes comprobar cualitativamente, por la regla de la mano derecha.

Luego, a mí me queda la fuerza siguiente (en módulo):

$$\dst F=\frac{\mu_0\cdot I\cdot I'}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{d}l}{\sqrt{\rho^2+y^2\cdot \tan^2(\alpha)}}$$

Y creo que $\dst {d}l=\frac{{d}y}{\cos(\alpha)}$:

$$\dst F=\frac{\mu_0\cdot I\cdot I'}{2\pi\cdot \rho}\dst{\int_{-\infty}^{\infty}}\frac{\dst\sec(\alpha){d}y}{\dst\sqrt{1+\left(\frac{y\cdot\tan(\alpha)}{\rho}\right)^2}}$$

Haciendo el cambio de variable $\dst \sin(\phi)=\frac{y\cdot \tan(\alpha)}{\rho}\rightarrow {d}y=\frac{\rho}{\tan(\alpha)}\cos(\phi){d}\phi$ tenemos:

$$\dst F=\frac{\mu_0\cdot I\cdot I'}{2\pi}\csc(\alpha)\int_a^b{d}\phi$$

Bueno, pues he puesto como límites de integración a y b porque el cambio que he escogido no es el más adecuado, ya que en el infinito no está definida la operación trigonométrica que he escogido.
Supongo que un buen candidato podría ser, en vez del seno, el seno hiperbólico y tener en cuenta la siguiente relación:

$$\dst \cosh^2-\sinh^2=1$$

Pero no me animo a seguir, porque puede que incluso ya haya cometido algún error :P. Por cierto, no recuerdo si el campo de un hilo infinito era ese o sin pi.

Ya buscaré los campos estos. Pero espero que puedas seguir con ésto.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

...
1.- Considerese las dos corrientes rectas infinintamente largas que se muestran en la figura . I' coincide con el eje y. I es paralela al plano yz. Se encuentra a una distancia $\rho$ del mismo, cruza el eje x en y=z=0 y forma un angulo $\alpha$ con el plano xy, como esta mostrado. Demostrar que la fureza sobre Ide C ejercida por I' de C' es igual a $\frac{1}{2}\mu_0II'\cot\alpha \hat{x}$
...

Compañero, haz tus esquemas para que veas de donde sale cada cosa.

El campo que produce la corriente I' es

$$\dst \boldsymbol B' = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi \rho'} \, \boldsymbol u_\theta = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi} \frac {z \boldsymbol u_x - x \boldsymbol u_z}{x^2+z^2}$$

la fuerza sobre un elemento de corriente $I\,d \boldsymbol l$ es

$$d \boldsymbol F = I \,d \boldsymbol l \times \boldsymbol B'$$

con

$$z = m y\,,\quad m=\tan \alpha$$

$$d \boldsymbol l = dy\, \boldsymbol u_y + dz\, \boldsymbol u_z = (\boldsymbol u_y + m \, \boldsymbol u_z)\,dy$$

Entonces, poniendo todo junto e integrando

$$\boldsymbol F = \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi } \int_{-\infty }^{\infty } \frac {(\boldsymbol u_y + m \, \boldsymbol u_z) \times (z \boldsymbol u_x - x \boldsymbol u_z)}{x^2 + z^2}\,dy$$

Haciendo el producto vectorial y sustituyendo $x=\rho$ y $z = m\,y$ se obtiene

$$\boldsymbol F = \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi } \int_{-\infty }^{\infty } \frac {(- \rho \,\boldsymbol u_x + m^2 y \, \boldsymbol u_y -m\,y \,\boldsymbol u_z)}{\rho ^2 + m^2 y^2}\,dy = \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi }\,\left(- \frac \pi m \,\boldsymbol u_x \right)$$

O sea que

$$\boxed {\boldsymbol F = - \frac 1 2 \mu_0 I I' \cot \alpha \,\boldsymbol u_x}$$

Supongo que el signo menos te lo comiste.

...
Para este problema lo que me pude dar cuenta esque el resultado no es correcto ya que cuando el angulo es cero deberia obtener dos corrientes paralelas!...

No puedes usar esta expresión para el caso límite de dos corrientes paralelas porque estás calculando la fuerza total. En el caso de dos corrientes paralelas la fuerza total sería infinita, ya que el campo sería constante.

Los otros dos problemas te los respondo mas tarde, que por aquí el tiempo está tormentoso y se me puede caer la conexión en cualquier momento.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

...
2.- Considerense los dos circuitos. Todas las corrientes se encuentran sobre el mismo plano. C' es infinitamente largo. LOs lados del rectangulo de longiud b son paraleos a C'. Encontrar la fuerza total sobre C.¿Es esta de atracci\'on o de repulsion?...

Si tienes que hacerlo por integración y necesitas ayuda, tan sólo dilo. El problema se puede resolver aplicando directamente la fórmula de fuerza entre corrientes paralelas

$$\frac F L = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$$

aplicada a los lados del rectángulo paralelos a la corriente infinita y obteniendo la fuerza neta, que será de atracción. Nota que la fuerza sobre los lados perpendiculares es paralela a la corriente rectilínea y la de un lado se calcela con la del otro lado. No se si tendrías que demostrar eso.

...
3.- 13.9 Cuatro cables rectors muy largos conducen cada uno de ellos la misma corriente I. Todos son paralelos al eje z e intersectan el plano xy en los puentos (0,0), (a,0),(a,a) y (0,a). E L primero y el tercero tienen su corriente enla direccion de z positva.; los otros dos tienen sus corrientes en la direccion negativa de a. Encontrar la fuerza total por unidad de longitud sobre la corriente que corresponde al punto (a,a).

Este es un simple problema de suma vectorial. Usa la fórmula de la fuerza entre dos corrientes para calcular la fuerza que ejercen las corrientes 1, 2 y 4 sobre la corriente 3. Toma en cuenta los sentidos de las corrientes: la corriente 1 atrae la 3 mientras que las corrientes 2 y 4 la repelen.

Una cuenta rápida me da $\dst F/L = \frac {\sqrt 2} 2 \,\frac {\mu_0 I^2}{2 \pi a}$ según la bisectriz de los ejes.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

...Pero no me animo a seguir, porque puede que incluso ya haya cometido algún error :P...

Así a primera vista tienes el errorcito de que pusiste el campo magnético en dirección radial

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

GRacias Al! una duda en en el primer problema cuando el angulo es cero! este diverge?

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

GRacias Al! una duda en en el primer problema cuando el angulo es cero! este diverge?

Si el ángulo es cero, entonces las corrientes son paralelas, el campo de I' sobre I es constante y la fuerza total sobre I tiende a infinito.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

pero entonces enves de ser cot alhpa! no se seria este tangente para que quede como dices! para cuando el angulo es cero!. Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

pero entonces enves de ser cot alhpa! no se seria este tangente para que quede como dices! para cuando el angulo es cero!. Gracias de antemano!

Creo que estás confundiendo algo, recuerda que la cotangente de cero tiende a infinito. En eso la fórmula obtenida es consistente.

Saludos,

Al

PD. Estas corrientes infinitas no hay como cogerlas En un arranque de vagancia me dió por calcular el torque que produce I' sobre I y resulta un valor infinitamente grande que tiende a poner las corrientes paralelas. Entonces tienes la situación de que si las dos corrientes forman un ángulo entre ellas se atraen con fuerza finita pero un torque infinito tiende a ponerlas paralelas, situación en la cual no hay torque pero una fuerza infinita las atrae je je je ¿Cómo te quedó el ojo?

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

Gracias Al! me quedo muy claro esa parte! intento las demas! y cualquier duda te pregunto!

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! tengo unas dudas!y para el 2 problema nose quien es L y para integrar debo tomar mis limites desde -enos infinito a mas infinito. Sera que me puedes explicar un poco mas en el 2 y 3 problema por favor! Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! tengo unas dudas!y para el 2 problema nose quien es L y para integrar debo tomar mis limites desde -enos infinito a mas infinito. Sera que me puedes explicar un poco mas en el 2 y 3 problema por favor! Gracias de antemano!

La L sería la longitud b de cada lado de la espira paralelo a la corriente rectilínea infinita. Permíteme un repaso de cosas que probablemente ya conoces.

A partir de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento no es difícil conseguir que la fuerza sobre un elemento de corriente $I\,d \boldsymbol l$ es

$$d \boldsymbol F = I\,d \boldsymbol l \times \boldsymbol B$$

La fuerza sobre un segmento de corriente sería

$$\boldsymbol F = I\,\int_C \left(d \boldsymbol l \times \boldsymbol B\right)$$

donde $C$ es la curva que define la corriente. Esta es la integral resuelta en la solución del problema 1. Ahora, si el campo magnético es uniforme, es decir, no depende de la posición de $d \boldsymbol l$ en $C$, puede sacarse de la integral para obtener

$$\boldsymbol F = I\, \left(\int_C d \boldsymbol l\right) \times \boldsymbol B = I\, \boldsymbol l \times \boldsymbol B$$

donde el vector $\boldsymbol l$ es el vector que une los puntos inicial y final de $C$.

Ahora considera dos corrientes rectilíneas infinitas paralelas separadas una distancia $d$. La corriente $I_1$ produce un campo magnético $\boldsymbol B_1$ que a su vez ejerce una fuerza sobre la corriente $I_2$ (y viceversa). Como las corrientes son paralelas, el campo $\boldsymbol B_1$ es constante en toda la extensión de $I_2$ y perpendicular a élla. La aplicación de (3) para conseguir la fuerza que ejerce $I_1$ sobre $I_2$ nos lleva a

$$F_{12} = I_2\,L\,B_1 = I_2\,L\,\frac {\mu_0 I_1}{2 \pi d} = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}\,L$$

donde $L$ es la longitud de la corriente 2. Esto nos deja con que la fuerza total es infinita, ya que supusimos ambas corrientes infinitas. Por eso en el caso de corrientes rectilíneas infinitas no hablamos de la fuerza total sino de la fuerza por unidad de longitud

$$\frac F L = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$$

Si bien el paso de dividir por $L$ no es legítimo en (4), pudimos haber partido de (1) reescrita de la forma

$$d \boldsymbol F = I\,(dl\, \boldsymbol u_T) \times \boldsymbol B$$

y calcular directamente la fuerza por unidad de longitud

$$\frac {d \boldsymbol F}{dl} = I\, \boldsymbol u_T \times \boldsymbol B$$

Bueno, en tu caso puedes aplicar (4) sin problema ya que la espira de corriente tiene dimensiones finitas. Toma en cuenta que (4) sólo la puedes usar para los lados paralelos a la corriente rectilínea, pues se asumió que $\boldsymbol B$ es constante al determinarla.

Para los lados perpendiculares a la corriente rectilínea tienes dos posibilidades: o calculas la fuerza sobre cada lado para conseguir que son iguales y opuestas, o invocas la simetría de la situación para concluir que las fuerzas son iguales y opuestas y no calculas nada. Si deseas (o tienes que) hacer el cálculo, toma

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\boldsymbol u_\theta$$

$$d \boldsymbol l = \pm dr\, \boldsymbol u_r$$

y resuelve (2) (el signo positivo es para el tramo superior, el negativo para el inferior). Obtendrás que ambas fuerzas son iguales, una con sentido +Z y otra -Z.

Para el problema 3 te reitero lo que ya te dije, que el problema es simplemente una suma vectorial. Aplica (5) para obtener la fuerza por unidad de longitud que ejerce cada corriente sobre la que se encuentra en (a,a), tomando en cuenta que si las corrientes son del mismo sentido se atraen, caso contrario se repelen. Haz tu esquema y tendrás tres vectores que sumar. Hombre, el problema es el mismo que si tuvieras 4 cargas puntuales, salvando la diferencia de la ecuación para calcular la fuerza.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! para el 3 problema. hice el diagrama pero no se si tome bien mis vectores, tengo la duda si mis fuerza con respecto a la 3 coordenada seria:

$F_{31}= -\frac{\mu_0I^2(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}}$

$F_{32}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{y}$

$F_{34}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{x}$

segun el libro debo de llega a $F=\frac{\mu_0I^2(\hat{x}+\hat{y})}{4\pi a}$

Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

...
$F_{31}= -\frac{\mu_0I^2(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}}$

$F_{32}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{y}$

$F_{34}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{x}$

segun el libro debo de llega a $F=\frac{\mu_0I^2(\hat{x}+\hat{y})}{4\pi a}$
...

Tienes un error con $F_{31}$ que debería ser

$\dst \vec F_{31}= -\frac{\mu_0 I^2}{2 \pi (\sqrt 2 \,a)} \frac {(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}} = -\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi a} (\hat{x} + \hat{y})$

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

Disculpa Al, pero no me doy cuenta como sacas lo que pones entre parentesis $(\sqrt 2 a)$. Entonces Al si sumo las 3 fuerzas que obtengo no llegaria al resultado que me dan!