Otras carreras Medios dieléctricos

[Nachop]

Tengo complicaciones de cómo trabajar con ellos, o sea veo un problema y no sé cómo agarrararlos... a ver si me pueden guiar con este problema por favor

Un cable coaxial de sección circular de radio $c+h$ tiene un dieléctrico compuesto entre sus dos conductores. El conductor interior tiene un radio exterior $a$ y está rodeado por una cubierta de dieléctrico de constante $\varepsilon_1$ y de radio exterior $b$. A continuación hay otra cubierta de dieléctrico de constante $\varepsilon_2$ y de radio exterior $c$. Si se establece una diferencia de potencial $V$ entre sus conductores, calcule el vector polarización y las densidades de carga inducidas entre los medios dieléctricos

Muchas gracias de antemano por su ayuda. Voy a estudiar una vez más este tema y se me ocurre algo lo posteo, para no hacerles perder su tiempo

[Al2000]

Re: Medios dieléctricos

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Un cable coaxial de sección circular de radio $c+h$ tiene un dieléctrico compuesto entre sus dos conductores. El conductor interior tiene un radio exterior $a$ y está rodeado por una cubierta de dieléctrico de constante $\varepsilon_1$ y de radio exterior $b$. A continuación hay otra cubierta de dieléctrico de constante $\varepsilon_2$ y de radio exterior $c$. Si se establece una diferencia de potencial $V$ entre sus conductores, calcule el vector polarización y las densidades de carga inducidas entre los medios dieléctricos
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Empieza por reconocer la simetría cilíndrica del problema. Los campos $\boldsymbol D$, $\boldsymbol E$ y $\boldsymbol P$ tendrán todos dirección radial y dependerán únicamente de la distancia radial $r$.

Considera que el conductor interno y el externo tienen densidades de carga lineal $\lambda$ y $-\lambda$. Cuál es el positivo no se sabe por el enunciado, que no especifica la polaridad de $V$.

Usa el teorema de Gauss para calcular el desplazamiento eléctrico, que sólo depende de las cargas libre y te puedes olvidar momentáneamente de los dieléctricos:

$\dst \oint_S \boldsymbol D \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s = q \quad \Rightarrow \quad D \cdot (2 \pi r h) = \lambda h \quad \Rightarrow \quad D = \frac \lambda {2 \pi r}$

donde $h$ y $r$ son, respectivamente, la altura y el radio de la superficie gaussiana $S$ cilíndrica que encierra el conductor interno. El cálculo es el mismo que tienes que haber visto para el caso de un filamento infinito.

Conocido el desplazamiento eléctrico, calculas el campo eléctrico y la polarización usando

$\dst D = \epsilon_r \epsilon_0 E = \epsilon E\,, \quad P = (\epsilon _r - 1) \epsilon_0 E$

Sólo te resta relacionar $\lambda$ con $V$:

$\dst V = - \int _{\text {exterior}}^{\text {interior}} \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = - \int _c^a \left(\frac \lambda {2 \pi \epsilon r} \boldsymbol u_r \right) \boldsymbol \cdot (dr\, \boldsymbol u_r) = - \frac \lambda {2 \pi }\left(\int _c^b \frac {dr}{\epsilon_2 r}+\int _b^a \frac {dr}{\epsilon_1 r}\right)$

El resto te lo dejo a ti. Trabaja en reversa, calculando $\lambda$ en función de $V$ y de allí la polarización.

Saludos,

Al

[Nachop]

Re: Medios dieléctricos

Muchas gracias Al!

[Nachop]

Re: Medios dieléctricos

Como dije en el post inicial, si encontraba otra solución la postearía y acá va

Ocupando la ecuación de Poisson:

${\nabla ^2}V\left( r \right) = - \dfrac{{{\rho _{libre}}}}<br /> {{{\varepsilon _o}}} = 0 \Rightarrow \dfrac{1}<br /> {r}\dfrac{\partial }<br /> {{\partial r}}\left\{ {r\dfrac{{\partial V}}<br /> {{\partial r}}\left( r \right)} \right\} = 0 \Rightarrow V\left( r \right) = A\ln \left( r \right) + B<br />$

Aplicando el dato del voltaje:

$V = V\left( a \right) - V\left( a \right) \Leftrightarrow V = A\ln \left( {\frac{a}<br /> {c}} \right) \Rightarrow V\left( r \right) = \dfrac{V}<br /> {{\ln \left( {a/c} \right)}}\ln \left( r \right) + B<br />$

Como el campo es conservativo: $\vec E = - \nabla V\left( r \right) = - \dfrac{{\partial V}}<br /> {{\partial r}}\left( r \right)\hat r = \dfrac{V}<br /> {{\ln \left( {a/c} \right)r}}\hat r<br />$

Por lo que estudié de medios dieléctricos se cumple: $\vec D = {\varepsilon _o}\vec E + {{\vec P}_i} = {\varepsilon _i}\vec E \Leftrightarrow {{\vec P}_i} = \left( {{\varepsilon _i} - {\varepsilon _0}} \right)\vec E<br />$, donde i=1,2.

Discutiendo el problema con unos amigos llegamos a la conclusión de que no era conveniente abordar el problema por Gauss, ya que no sabíamos con certeza qué efectos tenía el potencial V en la carga libre... pero parece que no es así, ya que en tu último paso Al, si no separo las integrales y desarrollo la primera integral llego a que

$V = - \dfrac{\lambda }<br /> {{2\pi \varepsilon }}\ln \left( {a/c} \right)<br />$

Reemplazando esto en tu fórmula del desplazamiento $\vec D = \dfrac{{\varepsilon V}}<br /> {{\ln \left( {a/c} \right)r}}\hat r = \varepsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \dfrac{V}<br /> {{\ln \left( {a/c} \right)r}}\hat r<br />$

Y llegamos a los mismos resultados...

[Al2000]

Re: Medios dieléctricos

Nachop, ni de cerca son los mismos resultados. ¿Y como es que no separas las integrales? ¿No ves que por haber dos dieléctricos diferentes tienes dos campos diferentes? El campo eléctrico es discontinuo; en la frontera entre los dos dieléctricos existe una capa de carga superficial producto de la diferencia en la polarización de los dos medios. Nada de eso se refleja en tu resultado. Si quieres un cálculo sencillo para tener valores con los cuales contrastar el resultado, trata el problema como dos condensadores cilíndricos en serie, uno de radios "a" y "b" y el otro de radios "b" y "c" cada uno con su dieléctrico.

Saludos,

Al

[Nachop]

Re: Medios dieléctricos

Gracias por la respuesta Al2000, sin embargo sentí que me estabas como retando por mi desarrollo... aunque estoy seguro que no fue esa la intención de tu post

[Al2000]

Re: Medios dieléctricos

Lo lamento, ciertamente no fue esa mi intención. A veces un mal día se refleja en la forma en que uno escribe

Peace,

Al

[Al2000]

Re: Medios dieléctricos

Si deseas resolver el problema partiendo de hallar el potencial, podrías hacer algo como lo siguiente:

De la ecuación de Poisson, como lo hiciste en tu mensaje, el potencial vendría dado por

$$V_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> A_1\, \ln r + B_1 &, \quad a \leqslant r \leqslant b \\<br /> A_2\, \ln r + B_2 &, \quad b \leqslant r \leqslant c <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Eligiendo como referencia el conductor externo, en la segunda ecuación de (1) tenemos

$$V_{(c)} = 0 = A_2 \, \ln c + B_2 \quad \Rightarrow \quad B_2 = -A_2 \, \ln c$$

$$V_{(r)} = A_2 \, \ln \frac r c\,, \quad b \leqslant r \leqslant c$$

Si ahora exigimos que el potencial sea continuo en $r = b$, queda

$$A_1 \, \ln b + B_1 = A_2 \, \ln \frac b c \quad \Rightarrow \quad B_1 = A_2 \, \ln \frac b c - A_1 \, \ln b$$

$$V_{(r)} = A_1 \, \ln \frac r b + A_2 \, \ln \frac b c\,, \quad a \leqslant r \leqslant b$$

Las dos constantes $A_1$ y $A_2$ dependen de las propiedades de cada medio. El dato de la diferencia de potencial aplicada reduce estas dos constantes a una sola, pero en la expresión del potencial todavía es muy incómodo trabajar. Antes bien calculemos el campo eléctrico tomando el menos gradiente del potencial

$$\boldsymbol E_{(r)} = - \nabla V_{(r)} \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol E_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> - \frac {A_1} r \, \boldsymbol u_r &, \quad a \leqslant r \leqslant b \\<br /> - \frac {A_2} r \, \boldsymbol u_r &, \quad b \leqslant r \leqslant c <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

lo cual nos deja con un desplazamiento eléctrico de

$$\boldsymbol D_{(r)} = \epsilon \boldsymbol E_{(r)} \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol D_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> - \epsilon_1 \frac {A_1} r \, \boldsymbol u_r&, \quad a \leqslant r \leqslant b \\<br /> - \epsilon_2 \frac {A_2} r \,\boldsymbol u_r &, \quad b \leqslant r \leqslant c <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Pero como la carga libre es la misma, ambas expresiones del desplazamiento deben ser iguales. Entonces

$$- \epsilon_1 \frac {A_1} r \, \boldsymbol u_r = - \epsilon_2 \frac {A_2} r \,\boldsymbol u_r \quad \Rightarrow \quad \epsilon_1 A_1 = \epsilon_2 A_2 = A$$

donde $A$ es una nueva constante. Regresando a la ecuación (5), podemos determinar esta constante

$$V_{(a)} = V \quad \Rightarrow \quad \frac A {\epsilon_1} \ln \frac a b + \frac A {\epsilon_2} \ln \frac b c = V \quad \Rightarrow \quad A = - \frac {\epsilon_1 \epsilon_2 V}{\epsilon_2 \ln \frac b a + \epsilon_1 \ln \frac c b}$$

De regreso en (6), usando (8) y (9), queda el campo eléctrico

$$\boldsymbol E_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \frac {\epsilon_2 V}{\left(\epsilon_2 \ln \frac b a + \epsilon_1 \ln \frac c b\right)\, r} \, \boldsymbol u_r &, \quad a \leqslant r \leqslant b \\<br /> \frac {\epsilon_1 V}{\left(\epsilon_2 \ln \frac b a + \epsilon_1 \ln \frac c b\right)\, r} \, \boldsymbol u_r &, \quad b \leqslant r \leqslant c <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

OK amigo, en verdad espero haber ayudado.

Saludos,

Al

[Nachop]

Re: Medios dieléctricos

Me ayudaste mucho! gracias Al por la dos soluciones! de pasadita me di cuenta por qué estaba mal mi desarrollo anterior