Otras carreras ejercicio

[dmadrid]

Hola, me gustaria que me ayudasen con este problema:

Sea una superficie esferica de radio 20 cm cuyo centro se encuentra en el punto (0,0,0) del espacio XYZ. Si en el subespacio x>=0 existe un campo electrico uniforme de valor 10 ^k "(k es un vector, pero no se ponerle el sombrero)" V/m, el flujo electrico que atraviesa la superficie de la esfera es:

a) 5 Vm
b) 2.5 Vm
c) 1.25 Vm
d) 0

Yo considero que la respuesta correcta es la c:

A = pi * R^2 = 0.126

flujo = E * A = 10 * 0.126 = 1.26 Vm

¿estoy en lo correcto?, necesito una confirmacion ya que es una pregunta de examen y la respuesta dada por alguno de mis compañeros es que es 0.

gracias y un saludo

[polonio]

Re: ejercicio

Es cero. Pues el flujo entrante (por debajo) es igual al saliente (por arriba).

(El dibujo es un poco cutrecillo, pero se ve cómo se distribuye el campo.)

[Metaleer]

Re: ejercicio

En efecto, la respuesta correcta es la que da polonio, y de forma intuitiva, la razón es la que da.

Hay dos maneras de verlo de forma rigurosa: puedes hacer el cálculo explícito de

$$\subset\!\!\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_\mathcal{D}\!\!\!\!\!\!\!\!\supset{} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$$

para lo cual tienes en cuenta que $\mathbf{E}= 10 \boldsymbol k ~ (\text{SI})$ y para el elemento diferencial de superficie, en primer lugar tienes la parametrización de la superficie, que es

$$x=20 \, \sin\theta \, \cos\varphi$$

$$y=20 \, \sin\theta \, \sin\varphi$$

$$z=20 \, \cos\theta$$

donde $\theta \in [0, \pi]$ y $\varphi \in [0, \pi/2] \cup [3/2 \pi, 2 \pi)$, y el elemento diferencial de superficie no es sino el producto vectorial fundamental de la parametrización, multiplicado por $d\theta d\varphi$, es decir,

$$\frac{\partial r}{\partial \theta} \times \frac{\partial r}{\partial \varphi} = 400 \sin ^2(\theta ) \cos (\varphi )\boldsymbol i + 400 \sin ^2(\theta ) \sin<br /> (\varphi ) \boldsymbol j + 400 \sin (\theta ) \cos (\theta ) \boldsymbol k.$$

Tenemos por tanto

$$\mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi$$

y el flujo es

$$\subset\!\!\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_\mathcal{D}\!\!\!\!\!\!\!\!\supset{} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi + \int_{3/2 \pi}^{2 \pi} \int_0^{\pi} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi = 0.$$

El segundo enfoque es apoyarse en el Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Si cerramos la mitad de la esfera por el plano $YZ$, el flujo através de esta "tapadera" es nulo, ya que para todo punto de la tapadera, $\mathbf{E} \perp d\mathbf{S}$. Como además $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ en este caso, la conclusión es que el flujo através de la semiesfera es nulo.

Ampliación: Vamos a probar que el flujo por la parte de abajo es el flujo por la parte de arriba cambiado de signo. Para la parte de arriba, $\theta$ varía entre y $\pi/2$:

$$\Phi_1 = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi + \int_{3/2 \pi}^{2 \pi} \int_0^{\pi/2} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi = 3000 \pi ,$$

y para parte de abajo, tenemos $\theta \in [\pi/2, \pi]$:

$$\Phi_2 = \int_0^{\pi/2} \int_{\pi/2}^{\pi} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi + \int_{3/2 \pi}^{2 \pi} \int_{\pi/2}^{\pi} 4000 \sin (\theta ) \cos (\theta ) d\theta d\varphi = -3000 \pi .$$

Saludos.