Otras carreras Duda ejercicio potencial eléctrico

[jas1991]

Buenas,

Espero que me puedan ayudar con el siguiente ejercicio:

Calcular el flujo eléctrico que traviesa un cubo con vértices : A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,0,4),D(0,0,4),E(0,4,4),F(0,4,0),G(4,4,0),H(4,4,4) metros. Está situado dentro de un campo eléctrico de intensidad:

a) E=10000 i N/C
b) E= 300x i N/C
c) E= 60${x}^{2}$ i -1000y j + 3000 k N/C

El problema está que si no puedo solucionar el primero, los demás ya no puedo. He intentado de varias formas pero me dan resultados incoherentes.

Gracias de antemano

Saludos

[Al2000]

Re: Duda ejercicio potencial eléctrico

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Calcular el flujo eléctrico que traviesa un cubo con vértices : A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,0,4),D(0,0,4),E(0,4,4),F(0,4,0),G(4,4,0),H(4,4,4) metros. Está situado dentro de un campo eléctrico de intensidad:

a) E=10000 i N/C
b) E= 300x i N/C
c) E= 60${x}^{2}$ i -1000y j + 3000 k N/C
...

En primer lugar, déjame decirte que, aunque no es indispensable, es de gran ayuda si visualizas la superficie con la que vas a trabajar. En este caso es un cubo de lado $l = 4 \,\mathrm{m}$ con un vértice en el origen de coordenadas, las aristas que forman ese vértice dirigidas según la dirección positiva de los tres ejes.

En segundo lugar, debes reconocer que la superficie del cubo no la puedes describir con una sola función. Mas bien tendrás 6 ecuaciones, una para cada cara del cubo. Correspondientemente la integral del flujo se dividirá en 6 integrales, una para cada cara.

El procedimiento básicamente es el mismo en cada caso. Además cada caso es una repetición 6 veces del cálculo del flujo en una cara, haciendo los cambios apropiados para la orientación y posición de la cara involucrada.

Te ejemplifico un par de caras con el tercer caso. Estoy seguro de que podrás hacer lo mismo en los otros casos mas sencillos.

Caso c). Elijo una cara cualquiera para ilustrar el caso. Tomaré la cara que se encuentra en el plano XZ (ABCD). Imagínate la cara ABCD como una cuadrícula de cuadrados minúsculos que serán los elementos de área en los cuales la vamos a dividir. Cada "cuadrito" tendrá una posición determinada por sus coordenadas $x,\, z$ y tendrá un área $dS = dx dz$ en magnitud. Como el vector área apunta hacia afuera de la superficie y perpendicular a élla, nuestro elemento de área apunta en la dirección -Y. Por lo tanto, expresado vectorialmente, tenemos que $d \boldsymbol S = - dx dz \boldsymbol j$.

Entonces el flujo en la cara ABCD es

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \Phi_{\text {ABCD}} & = \int_{\text {ABCD}} \boldsymbol E_{\text {ABCD}} \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{0}^{l}\!\!\int_{0}^{l}\! \boldsymbol E(x,0,z) \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{0}^{l}\!\!\int_{0}^{l}\! (60 x^2 \boldsymbol i + 3000 \boldsymbol k) \boldsymbol \cdot (-dxdz \boldsymbol j) \\<br /> & = 0 \end{aligned}<br />$$

¡Epa! ¿Qué pasó aquí? Mira que el resultado era previsible. El flujo de un campo vectorial a través de una superficie (plana) es el producto del área de la superficie por la componente perpendicular a esa superficie del campo en cuestión. O sea que en nuestra cara ABCD, que es perpendicular al eje Y, sólo existirá el flujo de la componente Y del campo. Las componentes X y Z son tangentes a la superficie y no producen flujo. Como el valor de la coordenada $y$ es cero en la cara ABCD, entonces la componente Y del campo es cero y el flujo es cero. Nota que en la cara EFGH, que también produce flujo sólo la componente Y, el flujo será distinto de cero pues $y = l$.

Otro ejemplo, mas rápido esta vez. Sea la cara BCHG; el elemento de área es $d \boldsymbol S = dy dz \boldsymbol i$. El flujo valdrá

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \Phi_{\text {BCHG}} & = \int_{\text {BCHG}} \boldsymbol E_{\text {BCHG}} \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{0}^{l}\!\!\int_{0}^{l}\! \boldsymbol E(l,y,z) \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S \\<br /> & = \int_{0}^{l}\!\!\int_{0}^{l}\! (60 l^2 \boldsymbol i - 1000 y \boldsymbol j + 3000 \boldsymbol k) \boldsymbol \cdot (dydz \boldsymbol i) = 60 l^4 \end{aligned}<br />$$

Así vas resolviendo cada una de las caras. Al terminar, sumas los flujos y esa es tu respuesta.

Fíjate que hay muchas simplificaciones y atajos que se pueden tomar, como anticipar que el flujo en la cara ABCD es cero. El flujo en la cara ADEF también es cero (x=0). El flujo neto en la dirección Z es cero (la componente Z es constante); en un caso como el a), donde el campo es constante, puedes decir de plano que el flujo total es cero. Todas estas simplificaciones y atajos los podrás considerar cuando te sientas mas suelto con el manejo del cálculo del flujo.

Saludos,

Al

[jas1991]

Re: Duda ejercicio potencial eléctrico

Muchas gracias!

La verdad que me ha aclarado bastante mis dudas. Mañana voy a intentarlo y si surge alguna duda ya lo comentaré.

Saludos