Otras carreras demostracion

[Marco Aurelio]

hola muchachos la verdad es que este preblema nadie lo pudo hacer y dice lo siguiente:

Un condensador esta formado por dos placas cuadradas de lado a, casi paralelas, formando un angulo pequeño theta entre si desde su separacion minima (d). Demostrar que la capacidad esta dada por la formula:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Al2000]

Re: demostracion

Puedes ver un análisis del problema en el banco de problemas.

Saludos,

Al

PD. En el desarrollo que hizo Metaleer en ese problema, usó la aproximación de primer orden $\ln(1+x) \approx x$ a fin de demostrar que la capacidad tiende a la de un CPPP si el ángulo es pequeño. Para la demostración que tu quieres hacer, necesitas usar una aproximación de segundo orden, $\ln (1+x) \approx x - \frac 1 2 x^2$.

[carmelo]

Re: demostracion

Hola:
El truco está en considerar el condensador como compuesto por infinitos condensadores dispuestos en paralelo. Ver figura adjunta

La capacitancia para un condensador de placas paralelas es: $C=\dst\frac{\epsilon A}{d}$ donde $A$ es el area y $d$ es la separación entre las placas.

$C=\int\dd C=\epsilon a \dst\int_0^a{\dst\frac{\dd x}{d+\theta x}}=\dst\frac{\epsilon a}{\theta}\ln\left(\dst\frac{d+a\theta}{d}\right)=\dst\frac{\epsilon a}{\theta}\ln\left(1+\dst\frac{a\theta}{d}\right)$
Teniendo en cuenta el desarrollo en serie para $\ln(1+x)=x-\dst\frac{x^2}{2}+\dst\frac{x^3}{3}+\ldots$ y teniendo en cuenta que $\theta$ es pequeño, podemos despreciar aquellos términos con $\theta^2$, por lo que se tiene.
$C=\dst\frac{\epsilon a}{\theta}\ln\left(1+\dst\frac{a\theta}{d}\right)\cong \dst\frac{\epsilon a}{\theta}\left(\dst\frac{a\theta}{d}-\dst\frac{a^2\theta^2}{2d^2}\right)=\dst\frac{\epsilon a^2}{d}\left(1-\dst\frac{a\theta}{2d}\right)$

Saludos
Carmelo