Otras carreras Problema de campo magnetico

[Kidew]

Hola!
Me podeis ayudar con este ejercicio? no se como hacerlo....

Un electrón C19109,1 se mueve en trayectoria rectilínea con una velocidad de sm810, en un punto p1 dado se encuentra con un campo magnético perpendicular a la hoja de papel, ¿Que intensidad tiene el campo si sabemos que la partícula sale en sentido contrario al que entro por un punto p2 situado a 50 cm del punto por el que entro? ¿Si el campo tuviese el doble de intensidad a qué distancia estarían los puntos p1 y p2?

Gracias!

[Metaleer]

Re: Problema de campo magnetico

Hola, Kidew.

El asunto es sencillo, tienes la fuerza magnética,

$$\mathbf{F}_\text{mag} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

donde $q$ es la carga, $\mathbf{v}$ es la velocidad de la partícula cargada y $\mathbf{B}$ es el campo magnético. A la vista de la fórmula (1), la fuerza magnética apunta en un sentido que es perpendicular tanto a $\mathbf{v}$ como a $\mathbf{B}$. Como $\mathbf{v}$ y $\mathbf{B}$ son perpendiculares en el primer instante, en este mismo instante aparece una fuerza que apunta hacia arriba o hacia abajo (ésto ya depende si el campo entra o sale del plano del papel, que no lo has indicado, pero verás que da igual). En el siguiente instante de tiempo, $t + dt$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{B}$ siguen siendo perpendiculares ya que la fuerza del primer instante de tiempo no tiene ninguna componente que se descomponga fuera del plano del papel, y este argumento se puede repetir de forma indefinida, de manera que encontramos que $\mathbf{v}$ y $\mathbf{B}$ son siempre perpendiculares, y como $\mathbf{v}$ es perpendicular a $\mathbf{F}_\text{mag}$ por la fórmula (1), no se trata sino de una fuerza centrípeta, de módulo $m \frac{v^2}{R}$, y el módulo de la fuerza magnética, apartir de (1) es $q v B$, por lo que

$$q v B = m \frac{v^2}{R} \Rightarrow \boxed{B = \frac{m v}{q R}}$$

pero sabes que el radio es $R = 50/2 = 25 ~\text{cm} = 0,25~\text{m}$, ya que los 50 cm que te dicen no es sino el diámetro de la (semi)circunferencia que viene a ser la trayectoria del electrón. Yo no veo bien los datos que has puesto, pero tú seguramente los tienes delante y sustituyendo en (2) tienes lo que pides para el primer apartado.

Para el segundo apartado, al tener $B$ calculado, vuelves a la fórmula deducida en (2), multiplicas tu valor calculado por $2$, despejas el nuevo radio $R'$ y recuerdas que la distancia es dos veces este radio, $2R'$. Vamos a ver qué da simbólicamente en función de los datos anteriores. El nuevo campo magnético es $2 B$, por tanto:

$$2B = \frac{m v}{q R'} \Rightarrow R' = \frac{mv}{2 q B} \Rightarrow \boxed{d = 2 R' = \frac{mv}{q B}.}$$

Saludos.

[Kidew]

Re: Problema de campo magnetico

Hola muchas gracias por tu ayuda!
No me habia dado cuenta de que no salian los datos, la carga del electron son 1,9 x 10^-19 y la velocidad 10^8...
¿con estos datos es posible que el campo magnetico me de (1,92 x 10^-3) y la distancia del apartado b se me reduzca a la mitad?

[Metaleer]

Re: Problema de campo magnetico

¿Cuáles son las unidades de la velocidad?

[Kidew]

Re: Problema de campo magnetico

la unidades son m/s

[Kidew]

Re: Problema de campo magnetico

Pero son las unidades que me dan, para la carga 1,9 x 10^-19 C y la velocidad 10^8 m/s

[Metaleer]

Re: Problema de campo magnetico

Bueno, en este caso no es válido el desarrollo que hice antes ya que las velocidades son relativistas. La fuerza magnética sigue siendo $q \mathbf{v} \times \mathbf{B}$ pero la fuerza centrípeta ya no es $m \frac{v^2}{R}$. A la vista de esta página, tienes la solución para un ciclotrón que viene a ser lo que preguntas. En particular, ahí se deduce el radio de la circunferencia de la trayectoria,

$$R=\frac{\gamma(v_0)m_0v_0}{qB}$$

donde $\displaystyle \gamma (v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Como antes, $R$ sigue siendo $0,25 ~\text{m}$, y sólo haría falta despejar $B$.

El modus operandi para el segundo apartado es el mismo, el nuevo campo magnético es $2 B$, y de la fórmula (1) debes despejar el nuevo radio $R'$ y multiplicar por dos.

Saludos.

Edit: Bueno, vamos a desarrollar esto un poquillo, que parece interesante la cosa.

Despejando $B$ de (1), tenemos:

$$B(v_0)=\frac{\gamma(v_0)m_0v_0}{qR} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_0/c)^2}} \frac{m_0v_0}{q R} = f(v_0) \frac{m_0}{qR},$$

donde $\displaystyle f(v_0) = \frac{v_0}{\sqrt{1 - (v_0/c)^2}}$. ¿Recuperaremos las fórmulas del post de antes? Veamos el desarrollo en serie de Taylor de $f(v_0)$,

$$f(v_0) = \frac{v_0}{\sqrt{1 - (v_0/c)^2}} = v_0 + \frac{v_0^3}{2 c^2} + \frac{3 v_0^5}{8 c^4} + \cdots = v_0 \left (1 + \frac{v_0^2}{2 c^2} + \frac{3 v_0^4}{8 c^4} + \cdots \right)$$

Como $c \gg v$, o lo que es lo mismo, $\displaystyle \frac{v_0}{c} \rightarrow 0$ para el caso no relativista, podemos truncar sin cometer mucho error apartir del primer término dentro del paréntesis, y por tanto

$$f(v_0) = \frac{v_0}{\sqrt{1 - (v_0/c)^2}} = v_0 \left (1 + \frac{v_0^2}{2 c^2} + \frac{3 v_0^4}{8 c^4} + \cdots \right) \approx v_0$$

con lo que

$$B(v_0)=\frac{\gamma(v_0)m_0v_0}{qR} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_0/c)^2}} \frac{m_0v_0}{q R} = f(v_0) \frac{m_0}{qR} \approx \frac{v_0 m_0}{qR}$$

que es en efecto la fórmula obtenida con consideraciones no relativistas.

En concreto, el campo magnético resulta ser, si no me he equivocado al sustituir:

$$\boxed{B(10^8) = 2,41 \cdot 10^{-3} ~\text{T}.}$$

Para el segundo apartado, el nuevo campo magnético es $\displaystyle 2 B = 2 f(v_0) \frac{m_0}{qR}$, el nuevo radio $R'$, y así

$$2 f(v_0) \frac{m_0}{qR} = f(v_0) \frac{m_0}{qR'} \Rightarrow R' = \frac{R}{2} \Rightarrow \boxed{d = 2 R' = R = 0,25 ~\text{m}.}$$

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema de campo magnetico

...
¿con estos datos es posible que el campo magnetico me de (1,92 x 10^-3) y la distancia del apartado b se me reduzca a la mitad?

Tienes un error en la carga, que debe ser (valor absoluto) de 1.602 x 10^-19 C.

Ese resultado que obtuviste es el valor no relativista con la carga equivodada. Como ya te indicó Metaleer, con una velocidad tan alta se comete un error al trabajar con el valor de la masa en reposo del electrón. La masa relativista es poco mas de un 6% mayor que la masa en reposo por lo cual el cálculo no relativista te arroja un resultado (2.27x10^-3 T) casi un 6% menor que el valor real.

Saludos,

Al

[Kidew]

Re: Problema de campo magnetico

No recuerdo que el profesor mencionara lo de la masa relativista. ¿Es posible que se trabaje con la masa en reposo del electrón? o sería un error muy grande? porque no puedo meter cosas que no hemos dado...
De todas formas me habeis ayudado mucho! muchas gracias!

[Metaleer]

Re: Problema de campo magnetico

No recuerdo que el profesor mencionara lo de la masa relativista. ¿Es posible que se trabaje con la masa en reposo del electrón? o sería un error muy grande? porque no puedo meter cosas que no hemos dado...
De todas formas me habeis ayudado mucho! muchas gracias!

Como puedes apreciar, trabajando con sólo la masa en reposo es equivalente a trabajar en régimen de bajas velocidades. Está claro que la velocidad que tenemos, $v = 10^8~\text{m/s}$, no es una velocidad baja, ya que $\displaystyle v/c = 0,333564095 \approx 1/3$ (es decir, ¡la tercera parte de la velocidad de la luz!), y porque un teslámetro puede distinguir entre el resultado real, $2,41 \cdot 10^{-3} ~\text{T}$ y el valor aproximado que proporcionan las fórmulas clásicas, $2,27 \cdot 10^{-3} ~\text{T}$.

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema de campo magnetico

No recuerdo que el profesor mencionara lo de la masa relativista. ¿Es posible que se trabaje con la masa en reposo del electrón? o sería un error muy grande?...

No hay error muy grande o muy chiquito, sino errores tolerables o no. El límite al error en un cálculo lo estableces tú (o quien te mande a hacer el cálculo). Lo importante es que sepas que el error existe y si es posible, que sepas como evitarlo. Es claro que si estás haciendo un cálculo para un diseño en el que te puedes permitir una tolerancia tan grosera como un 10%, por poner un ejemplo, entonces tu cálculo aproximado será válido. Si tu diseño requiriese una menor tolerancia, entonces tu cálculo no ralativista no sería bueno.

Si no has visto nada de relatividad, enonces haz tu cálculo no relativista pero sorprende a tu profesor poniendo una mención al error cometido

Saludos,

Al