Otras carreras Potencial electrico en una region del plano ( ecuacion de laplace en 2D )

[Marco Aurelio]

Muchachos traigo aqui un nuevo problema el cual me piden determinar el potencial electrico "u", dadas las condiciones que cumple ojala puedan echarme una manito de antemano muchas gracias.

Sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] cuadrado de lado 1 y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] una funcion positiva que representa la densidad de carga superficial de cargas en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Ademas suponga que tal distribucion de cargas es constante e igual a 1, designe por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la funcion que representa el potencial electrico en la region [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Suponga ahora que el potencial eletrico [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sobre el borde de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es constante. Asuma que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] bajo estas condiciones el potencial electrico satisface la ecuacion de Laplace:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Determine [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[polonio]

Re: Potencial electrico en una region del plano ( ecuacion de laplace en 2D )

Me temo que si el laplaciano es no nulo no es la ec. de Laplace, sino la de Poisson. Pero, bueno, nombrecitos aparte, ¿has intentado resolverla mediante separación de variables?

[Marco Aurelio]

Re: Potencial electrico en una region del plano ( ecuacion de laplace en 2D )

hola polonio, claramente no es la ecuación de Laplace sino la de Poisson estoy recien emèzando con este tema, y si traté de resolverlo por variables separables pero no llego a la solucion de la pauta y pense que tendría que usar el teorema de Green o algo que me de una solución de ésta, cualquier ayuda es bien recibida de antemano muchas gracias.

[Marco Aurelio]

Re: Potencial electrico en una region del plano ( ecuacion de laplace en 2D )

muchachos pondre parte de lo que llevo para que me guien porque me quedo pegado en un paso, lo que sucede es que este problema debo resolverlo con metodos numericos de tal forma hallar una solucion aproximada y no la solucion exacta, para ello las derivadas parciales las tego que aproximar de la siguiente forma:
$\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}\approx{\displaystyle\frac{u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j)}{h^2}}$
$\frac{{\partial ^2u}}{{\partial y^2}}\approx{\displaystyle\frac{u(i,j+1)-2u(i,j)+u(i,j-1)}{h^2}}$
De tal forma que tenga que resolver una ecuacion lineal de la forma Mx=b, por otra parte h=1/n con n un número natural. entonces nos quedaría:
$\displaystyle\frac{1}{h^2}[u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)-4u(i,j)]=1$

[Marco Aurelio]

Re: Potencial electrico en una region del plano ( ecuacion de laplace en 2D )

alguna ayuda que pueda brindarme alguno de ustedes muchachos? de antemano muchas gracias