Otras carreras Potencial en una corona circular.

[Agust]

Buenas Tardes,

Tengo problemas con este ejercicio:

Una corona circular, de radios interior y exterior R y 2R respectivamente, es colocada en el plano (X,Y) y cargada con una densidad de carga $\sigma = \frac{4}{r'} \frac{Coul}{{m}^{2} }$ donde r' es la coordenada radial polar. Hallar:

a) La función potencial eléctrico en los puntos del eje Z. Indicar explicitamente donde coloca la referencia cero de potencial, Justificar.

El procedimiento que seguí fue, calcular el campo y luego la circulación del campo lo cual me dio una integral horrible, y solucionandola en el wolfram me dio la resta de dos logaritmos horribles.
En cambio usando la fórmula de potencial, $V =\frac{q}{4\pi \varepsilon 0 *\left\vert{}r-r' \right\vert{} }$ ,me resultó$V\left( z \right) = \frac{4R}{\varepsilon 0*\sqrt{{z}^{2}+{r'}^{2}} }+V\left( ref\right)$

Dudas:
¿No debería haber dado lo mismo en los dos casos?
No tengo bien claro donde colocar la referencia. Si el resultado que me arrojó la fórmula de potencial es correcto, en que difiere si tomo la referencia en el 0 o en $\infty$?


Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Potencial en una corona circular.

Tu respuesta no es correcta. Fíjate que r' no debe aparecer en la respuesta final. Inténtalo de nuevo. Parte del potencial de la carga puntual, $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r$ y suma los potenciales de todos los elementos de carga $\dst dq = \sigma dA = \sigma (r')^2 dr' d \theta$. La distancia $r$ del elemento de carga al punto sobre el eje Z es $\dst r = \sqrt {z^2 + (r')^2}$.

Respecto a tu duda con el nivel de referencia, ciertamente tu lo puedes modificar si lo deseas, pero si haces el cálculo a partir del potencial de la carga puntual estás heredando la misma referencia, $V_\infty = 0$.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Potencial en una corona circular.

Hola:

$\dd q=\sigma \dd s=\dst\frac{4}{r^\prime}r^\prime\dd \theta \dd r^\prime=4\dd \theta \dd r^\prime$
$\dd V=\dst\frac{1}{\pi\epsilon_0}\dst\frac{\dd \theta\dd r^\prime}{\sqrt{z^2+{r^\prime} ^2}}\qquad V=\dst\frac{1}{\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi}\int_R^{2R}\frac{\dd \theta \dd r ^\prime}{\sqrt{z^2+{r^\prime} ^2}}=\dst\frac{2}{\epsilon_0}\ln\left(\dst\frac{2R+\sqrt{z^2+4R^2}}{R+\sqrt{z^2+R^2}}\right)$

Notarás que $V_\infty =0$

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Potencial en una corona circular.

Gracias por la corrección, carmelo, que se me fue un cuadrado espurio en el diferencial de área, que terminó siendo un extraño diferencial de volumen

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Potencial en una corona circular.

Hola Al:

De nada. Supuse que era un error de tipeo.

Saludos
Carmelo

[Agust]

Re: Potencial en una corona circular.

Muchas gracias, ya me quedó claro que tengo que integrar porque cada diferencial da una contribución. Pero me quedó una duda, cuál sería la diferencia de tomar la referencia en el infinito o en el cero?, no me queda muy claro porque asumen que es en el infinito . ¿Es para que se vaya la indeterminación del resultado?. No entiendo muy bien el significado físico de la referencia.

[Al2000]

Re: Potencial en una corona circular.

Aquí no es una cuestión de asumir. Si partes del potencial de la carga puntual, estás usando la misma referencia que la usada en ese caso.

El potencial eléctrico no existe como un valor del punto, lo que se define es la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio. Por comodidad acordamos usar algún punto como referencia a partir del cual medir las diferencias, las cuales ahora pasan a ser consideradas como un valor función de la posición que llamamos el potencial de ese punto. Pero en el fondo siempre subyace que estás haciendo una medición respecto a un punto de referencia conocido.

En la vida diaria hacemos lo mismo cuando hablamos de la altura de un objeto cualquiera. En muchas observaciones la referencia está implícita y nos acostumbra a ella el uso diario. Podemos decir que un árbol tiene 8 m de altura y estaremos asumiendo el suelo como nivel de referencia. La altura de un edificio será algun valor, pongamos 30 m, de nuevo medido respecto al nivel de la calle. Pero esa misma calle puede estar en una ciudad que se encuentre a cierta altura, que se yo, pongamos 500 m sobre el nivel del mar. El hecho es que la altura es una distancia medida entre dos puntos, pero por comodidad casi nunca especificamos la referencia del punto mas bajo, a menos que sea necesario para evitar algún error de interpretación.

En este problema en particular, si usas la fórmula que determinó carmelo, el nivel de referencia es que $V_\infty = 0$, que es el nivel de referencia que se usa en la fórmula del potencial de la carga puntual, del cual se partió para realizar el cálculo. Para verificarlo bastaría tomar el límite de la expresión obtenida cuando $z \to \infty$. Tu puedes cambiar ese nivel de referencia si lo deseas. Por ejemplo, si prefieres medir los potenciales respecto del origen de coordenadas ($z = 0$), harías

$$V_{(0)} = \frac 2 {\epsilon_0} \ln \left( \frac{2R+\sqrt{0+4R^2}}{R+\sqrt{0+R^2}}\right) = \frac 2 {\epsilon_0} \ln \left( \frac{2R+2R}{R+R}\right) = \frac {2 \ln 2} {\epsilon_0}$$

y defines un nuevo potencial que sea la diferencia respecto de este nuevo nivel

$$V'_{(z)} = V_{(z)} - V_{(0)} = \frac 2 {\epsilon_0} \ln \left( \frac{2R+\sqrt{z^2+4R^2}}{R+\sqrt{z^2+R^2}}\right) - \frac {2 \ln 2} {\epsilon_0} = \frac 2 {\epsilon_0} \ln \left( \frac{2R+\sqrt{z^2+4R^2}}{2R+\sqrt{4z^2+4R^2}}\right)$$

el cual escribí de esa manera para que sea evidente que es cero cuando $z$ es cero. No es difícil comprobar que el nuevo potencial vale $-2 \ln 2 / \epsilon_0$ cuando $z \to \infty$.

Un par de comentarios adicionales: cuando calculas un potencial tu puedes sumar/restar cualquier valor constante que se te antoje. Eso no altera en absoluto las diferencias de potencial, que en definitiva es lo que importa. En muchas situaciones podemos determinar un potencial para el cual no está definida la referencia; entonces introducimos una constante la cual después ajustamos a conveniencia o para garantizar la continuidad de la función en el caso de potenciales que cambian su representación entre distintas regiones del espacio. Pero eso es otro cuento...


Saludos,

Al

[Agust]

Re: Potencial en una corona circular.

Ahora tengo un nuevo problema, y me surgió la misma duda, se ve que no me quedó claro.
El ejercicio decía algo así, Dado un anillo con densidad de carga lineal 4 microcoulombs/metro calcular el trabajo necesario para llevar una carga de 8 microcoulomb desde el centro del anillo hasta un punto a 5 metros en el eje del anillo.(El radio del anillo era 4 cm).

Entonces lo que hice fue calcular el potencial para todo el eje z (ubiqué el anillo en el plano xy con centro en el (0,0,0).).
Entonces tomé la referencia en el infinito.
$\Rightarrow V\left( z \right)-V\left( \infty \right)=\frac{4\mu C/m}{ 4\pi{\epsilon }_{0} \sqrt{{z}^{ 2}+{R}^{2 } } } \int d\theta$, con la integral entre 2pi y 0

entonces me da:
$V\left(z \right) = \frac{2}{{\epsilon }_{0 }\sqrt{{z}^{2 }+{R}^{2 } } }$

Luego calculé $V\left(5 \right)-V\left(0 \right)$ y lo multipliqué por la carga. Lo cual medio como trabajo final aproximadamente 44 Joules, y me parece que es una cifra bastante grande.
La duda es, si está bien que halla tomado $V\left( \infty \right)=0$

[Al2000]

Re: Potencial en una corona circular.

La referencia no tiene importancia. Cualquiera que esta sea, cuando hagas la resta del potencial entre los dos puntos el valor de la referencia se cancela.

El error que tienes es que en la integral te faltó R en el numerador. El elemento de carga es $dq = \lambda R d \theta$. Corrige eso y quita el $-V(\infty)$, que está implícito al partir del potencial de la carga puntual y que de cualquier forma vale cero.

Mis cuentas me dan una diferencia de potencial de -224 kV para un trabajo de -1.79 J. Ten cuidado con las unidades.

Saludos,

Al