1r ciclo Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

[Bromio]

Hola.

En un libro he encontrado el siguiente ejercicio que se me resiste:
Una superficie cónica (un cucurucho de helado vacío) posee una densidad superficial de carga $\sigma$. La altura del cono es $h$, que también es el radio de la base del cono. Encontrar la diferencia de potencial entre los puntos a (vértice del cono) y b (centro de la base del cono). El cono se encuentra invertido (vértice apuntando hacia abajo).

Muy bien. La idea sería calcular el potencial en ambos puntos y calcular su diferencia, esto es, me piden $V(a) - V(b)$.

Como $V\left(\bar{R'}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 } \iint_{S^{'}} \frac{\sigma}{\left\vert{} \bar{R}-\bar{R^'} \right\vert{} }dS'$, no habría más que resolver ambas integrales para los puntos a y b. (Entiendo que $\bar{R}$ es el vector que apunta al punto donde quiero calcular el potencial y que $\bar{R^'}$ es el vector que apunta a la fuente.

Para calcular el potencial en a, trabajo en coordenadas cilíndricas. $\bar{R} = 0$ (está en el origen de coordenadas) y $\bar{R^'} = \hat{R}R$. El módulo de la diferencia de estos vectores sería: $R'$.

¿Cuál tendría que ser $dS'$, así como los límites de integración, para poder calcular este potencial? Parece como si tuviese que resolver una integral de superficie (vector perpendicular a la superficie...), pero la fórmula del potencial NO es una integral de superficie.

¿Qué hago mal? ¿O qué debería hacer ahora?

Muchísimas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

¿Estás obligado a partir del potencial de la carga puntual o se te permite dividir el cono en anillos? Lo último sería mucho mas sencillo...

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

¿Estás obligado a partir del potencial de la carga puntual o se te permite dividir el cono en anillos? Lo último sería mucho mas sencillo...

Saludos,

Al

Todos los ejercicios que he resuelto hasta ahora han sido mediante el procedimiento que he planteado en el primer mensaje. No obstante, no me imponen nada. Puesto que lo que quiero es aprender, agradecería que me comentases cómo debería afrontar el ejercicio mediante ese método de división del cono en anillos.

Aun así, también me gustaría saber cómo podría continuar por el camino (más difícil) que había empezado.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

Me retracto, es prácticamente lo mismo. Si divides el cono en anillos sólo te ahorras la integral del diferencial de theta, es decir, una bobada. Suponte que orientas el cono con el eje a lo largo del eje Z, el vértice apoyado en el origen. El potencial de un elemento de carga $dq = \sigma\, dS$ en un punto sobre el eje, a la altura $z$ sería

$$dV = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sigma \,dS}{\sqrt {(z-z')^2+(r')^2}}$$

con

$$r' = \frac R H z'$$

$$dS = (r' d \theta)\left(\frac {\sqrt {H^2+R^2}} H dz' \right)$$

Pónlo todo junto e integra $\theta$ entre 0 y 2$\pi$ y $z'$ entre 0 y H. Con la ecuación que obtengas podrás evaluar el potencial en cada punto.

Saludos,

Al

PD. Perdón, llamé R al radio de la base del cono, que según el problema es igual a H.

[Bromio]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

Muchas gracias.

El resultado final me ha coincidido con el de mi libro.

Un saludo.

[polux1212]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

hola me podrian hacer el favor de decirme el nombre del libro, para estudiar electrostatica y resolver algunos de sus ejercicios, GRACIAS

[Agtj]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

Hola.

Tengo una duda respecto a este problema. Me gustaría saber por qué el diferencial de superficie es:

$$dS = (r' d \theta)\left(\frac {\sqrt {H^2+R^2}} H dz' \right)$$

Sé que, cuando el radio es constante, el diferencial de superficie es, en general, para coordenadas cilíndricas,

$$dS = rd \theta dz$$

pero no sé cómo se llega a ese resultado cuando el radio depende de la altura.

Muchísimas gracias.

[Al2000]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono



Usa trigonometría o semejanza de triángulos, como te sea más cómodo. Lo que te interesa es la longitud de la hipotenusa para hallar el área del "cuadrito", ya que ese lado del cuadrito está inclinado con respecto al eje Z.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Agtj]

Re: Diferencia de potencial entre dos puntos de un cono

Muchísimas gracias por tu ayuda, duda aclarada.