Otras carreras Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

[Bromio]

Hola.

El problema que planteo lo he resuelto correctamente haciendo una serie de simplificaciones, pero, si no las hago, no consigo obtener el mismo resultado. Evidentemente normalmente haré todas las simplificaciones necesarias, pero ahora, en los ejercicios básicos, prefiero ver cómo se comporta todo y estrujar los problemas lo máximo posible.

Me piden calcular el campo creado sobre el eje z por un plano circular de radio R, centrado en el origen, y de densidad superficial de carga $-2 \sigma$.

Tras considerar brevemente el problema, me di cuenta de que la única componente del campo que tiene relevancia (las demás se anulan) es la paralela al eje z. En consecuencia, al final hay que resolver la integral:

$\bar{E}(\bar{R}) = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\int_{0}^{R}\displaystyle\int_{0}^{2\pi } -2 \sigma \displaystyle\frac{\widehat{z}z r'}{\left[z^2+\left(r'\right)^2\right]^{3/2}}\;d \phi \;d r'$.

Ahora bien, en realidad, la integral que habría que resolver sería: $\bar{E}(\bar{R}) = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\int_{0}^{R}\displaystyle\int_{0}^{2\pi } -2 \sigma \displaystyle\frac{\widehat{z}z - \widehat{r}'r'}{\left[z^2+\left(r'\right)^2\right]^{3/2}} r' \;d \phi \;d r'$.

Entiendo que, si se empieza a resolver esta última integral, $\bar{E}(\bar{R}) = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\int_{0}^{R}\displaystyle\int_{0}^{2\pi } -2 \sigma \displaystyle\frac{\widehat{r}'r' r'}{\left[z^2+\left(r'\right)^2\right]^{3/2}}\;d \phi \;d r'$ debe ser igual a , con lo que nos quedaría la primera que escribí, y el resultado sería el adecuado. Sin embargo, cuando me pongo a resolver la integral escrita en este párrafo, veo que ésta no se anula, por lo que el resultado no es el esperado.

¿Qué es lo que ocurre?

Muchísimas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

¿Estás integrando el vector unitario $\dst \widehat r'$? Por cierto, deberías poner $\vec E(\vec z)$ en lugar de $\vec E(\vec R)$...

Saludos,

Al

[Terran]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Creo saber cuál es tu problema. Primero, la integral que escribes para la componente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] del campo sí se anula (aunque no tenga importancia la escribiste con un signo menos errado). El versor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] NO es constante en la integración y no puedes sacarlo de la misma. Hay que escribirlo de la siguiente manera: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de esta forma tienes dos integrales de seno y coseno entre 0 y 2[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y éstas se anulan, quedando nula la componente del campo según [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Saludos!

Aclaración: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la componente radial en coordenadas cilíndricas. Algunos anotan [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Creo saber cuál es tu problema. Primero, la integral que escribes para la componente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] del campo sí se anula (aunque no tenga importancia la escribiste con un signo menos errado). El versor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] NO es constante en la integración y no puedes sacarlo de la misma. Hay que escribirlo de la siguiente manera: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de esta forma tienes dos integrales de seno y coseno entre 0 y 2[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y éstas se anulan, quedando nula la componente del campo según [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Saludos!

Aclaración: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la componente radial en coordenadas cilíndricas. Algunos anotan [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Muchas gracias.

¡Es justo lo que me pasa!

Yo no estaba integrando $\hat{r'}$ respecto de $\phi$ porque pensaba que no dependía.

Entonces, ¿cuándo debo expresar $\hat{r'}$ como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y cuándo debo dejarlo como $\hat{r'}$?

Muchas gracias.

Un saludo.

[bertolet]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

De hecho, ni siquiera es necesario tener en cuenta que las componentes horizontales del campo electrostático se anulan entre sí.

La expresión de dicho campo por integración directa no es más que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde, en este caso, $\vec{r}$ es la posición en la que queremos calcular el campo, es decir $\vec{r}=z\vec{u_z}$, $\vec{r'}$ recorre todos los puntos de la superficie cargada que, suponemos por simplicidad situada en $z=0$. Así, $\vec{r'}=\rho' \vec{u_{\rho'} }$, donde evidentemente $\rho'$ es la componente radial en coordenadas cilíndricas y deberemos expresar el vector $\vec{u_{\rho'}}$ en función de los vectores unitarios cartesianos, pues éste no es constante en todos los puntos de integración, por lo que no podrá salir de la integral, es decir, $\vec{u_{\rho'}}=\cos \phi' \vec{u_x}+\sin \phi' \vec{u_y}$. Por tanto, $\vec{r}-\vec{r'}=z\vec{u_z}-\rho' \vec{u_{\rho'} }=z\vec{u_z}-\rho' (\cos \phi' \vec{u_x}+\sin \phi' \vec{u_y})$ y, lógicamente $|\vec{r}-\vec{r'}|=\sqrt{z^2+\rho'^2}$. Por último, el elemento diferencial de superficie en coordenadas cilíndricas viene dado por $ds'=\rho' d\rho' d\phi'$ y los límites de integración serán, evidentemente, $0\leqslant \rho' \leqslant R$ y $0\leqslant \phi' \leqslant 2\pi$.

Haciendo todo esto y teniendo en cuenta que la densidad de carga superficial es uniforme, $\sigma (\vec{r'})=-2\sigma$, la integral, definitivamente, queda:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora, las componentes en las direcciones $x$ e $y$ se anulan, pues es inmediato que $\int_0^{2\pi} \cos \phi' d\phi'=\int_0^{2\pi} \sin \phi' d\phi'=0$. Por tanto, únicamente nos queda el último término, correspondiente a la dirección $z$ y cuya integral es inmediata, pues, por un lado, $\int_0^{2\pi}d\phi'=2\pi$ y, por otro,
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde debe tomarse la precaución de tomar valor absoluto, pues se tiene $\sqrt{z^2}=\left\vert{} z \right\vert{}$, eliminando el signo.

Por tanto, finalmente, se tiene:
$\dst \vec{E}(z)=\frac{\sigma}{\varepsilon _0} \left( \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}-\frac{z}{\left\vert{} z \right\vert{} } \right) \vec{u_z}$

[bertolet]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Muchas gracias.

¡Es justo lo que me pasa!

Yo no estaba integrando $\hat{r'}$ respecto de $\phi$ porque pensaba que no dependía.

Entonces, ¿cuándo debo expresar $\hat{r'}$ como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y cuándo debo dejarlo como $\hat{r'}$?

Muchas gracias.

Un saludo.

En general, nunca puedes realizar una integral respecto de vectores unitarios dependientes de la posición. Ten en cuenta que el hecho de que no puedas realizar esa integral considerando al vector $\hat{r'}$ constante se debe a que en cada punto de integración, es decir, en cada punto de la superficie sobre la que debes integrar, dicho vector es diferente (apunta hacia direcciones diferentes). La idea es expresarlo en función de los vectores $\hat{x}$ e $\hat{y}$, pues éstos son constantes en toda la superficie de integración y podrás sacarlos de la integral sin problemas.

Es decir, siempre tendrás que expresarlo en función de esos vectores, salvo que integres sobre puntos en los que el vector $\hat{r'}$ se mantenga constante. Esto sólo es posible en una integral de línea sobre una recta que pase por el origen, un caso muy particular.

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Magistrales respuestas, bertolet.

Era justo lo que necesitaba saber. Ahora entiendo perfectamente el planteamiento.

Sin embargo, me surge una nueva cuestión relacionada con esto mismo.
Supongamos que queremos calcular el campo generado por una esfera con una densidad volumétrica de carga $\rho$. Evidentemente, el campo resultante, ya sea en el exterior o en el interior de la esfera, tendrá la dirección radial en coordenadas esféricas $\hat{R}$. Generalmente, este problema yo lo resolvería aplicando la ley de Gauss, pero, si no lo hiciese así y aplicase la fórmula del campo, ¿aquí tendría también que sustituir $\hat{R}$ por su correspondiente en coordenadas rectangulares? Pienso que no, pero ¿por qué?

Muchísimas gracias.

Un saludo.

[bertolet]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Hola de nuevo Bromio.

Sí sería necesario escribir el vector $\hat{r}$ mediante sus componentes cartesianas. Recuerda que la integral no es más que una suma de infinitos números. Al hallar la expresión del campo eléctrico por integración directa, lo que haces es evaluar el vector $\vec{r}-\vec{r'}$ en cada punto de la esfera. Recuerda que dicho vector representa la distancia entre el punto en el que quieres calcular el campo (genéricamente, $\vec{r}$) y cada punto de la distribución de carga. Integrando lo que haces, en definitiva, es sumar todas estas distancias vectorialmente para cada uno de los puntos de la esfera (genéricamente, $\vec{r'}$). Por tanto, sacar el vector de la integral es exactamente lo mismo que sacarlo como factor común de la suma. Lo que ocurre es que, para cada punto de la esfera, el vector $\hat{r}$ apunta en direcciones diferentes, por lo que no puedes sacarlo como factor común. Debes transformarlo a coordenadas cartesianas, que, ahora sí, son vectores constantes evaluándolos en cualquier punto de la esfera y, por tanto, puedes sacarlos de la integral (o hacer factor común de la suma).

Lo que ocurre es que resolver dichas integrales analíticamente es mucho más complicado que utilizar el teorema de Gauss, pues aprovechando la simetría del problema se puede simplificar bastante su resolución. Recuerda, por último, que en el teorema de Gauss no estás realizando una integral de volumen como la que harías para hallar el campo eléctrico por integración directa, sino que calculas el flujo a través de una superficie evaluando un producto escalar de dos vectores en cada punto de dicha superficie ($\vec{E}$ y $\vec{\dd s}$) que, por simetría, sabes que son paralelos, con lo cual el producto escalar es, en todos los puntos de la superficie esférica $\vec{E} \cdot \vec{\dd s}=(E\hat{r}) \cdot (\dd s \hat{r})=E \dd s$

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Muchas gracias, bertolet. Es una lástima que no todos los profesores expliquen de una forma tan clara como haces.

Hola de nuevo Bromio.

Sí sería necesario escribir el vector $\hat{r}$ mediante sus componentes cartesianas. Recuerda que la integral no es más que una suma de infinitos números. Al hallar la expresión del campo eléctrico por integración directa, lo que haces es evaluar el vector $\vec{r}-\vec{r'}$ en cada punto de la esfera. Recuerda que dicho vector representa la distancia entre el punto en el que quieres calcular el campo (genéricamente, $\vec{r}$) y cada punto de la distribución de carga. Integrando lo que haces, en definitiva, es sumar todas estas distancias vectorialmente para cada uno de los puntos de la esfera (genéricamente, $\vec{r'}$). Por tanto, sacar el vector de la integral es exactamente lo mismo que sacarlo como factor común de la suma. Lo que ocurre es que, para cada punto de la esfera, el vector $\hat{r}$ apunta en direcciones diferentes, por lo que no puedes sacarlo como factor común. Debes transformarlo a coordenadas cartesianas, que, ahora sí, son vectores constantes evaluándolos en cualquier punto de la esfera y, por tanto, puedes sacarlos de la integral (o hacer factor común de la suma).

Este aspecto ya lo comprendo. Ciertamente, lo sabía desde el principio, pues esto no es más que análisis vectorial, pero, muchas veces, uno se obceca de tal forma que olvida lo que sabe.

Como el vector radial varía en función de la carga fuente a la que apunte, no puedo sacarlo fuera de la integral. En coordenadas rectangulares, por el contrario, al ser constantes lo vectores unitarios, sí puedo sacarlos de la integral. Dicho de otra forma, debo integrar el vector unitario, ¿no?

Lo que ocurre es que resolver dichas integrales analíticamente es mucho más complicado que utilizar el teorema de Gauss, pues aprovechando la simetría del problema se puede simplificar bastante su resolución. Recuerda, por último, que en el teorema de Gauss no estás realizando una integral de volumen como la que harías para hallar el campo eléctrico por integración directa, sino que calculas el flujo a través de una superficie evaluando un producto escalar de dos vectores en cada punto de dicha superficie ($\vec{E}$ y $\vec{\dd s}$) que, por simetría, sabes que son paralelos, con lo cual el producto escalar es, en todos los puntos de la superficie esférica $\vec{E} \cdot \vec{\dd s}=(E\hat{r}) \cdot (\dd s \hat{r})=E \dd s$

Esto, sin embargo, me inquieta. ¿Cómo es posible que se obtengan resultados diferentes si se aplica la ley de Gauss a los que se tendrían si no se aplicara?

¿O si dan los mismos resultados, sólo que expresados en coordenadas distintas? Es decir, ¿en el caso de no utilizarla, el campo resultante quedará expresado en función de los vectores unitarios $\hat{x}$, $\hat{y}$ y $\hat{z}$, pero podrán pasarse a coordenadas esféricas dando la solución de la ley de Gauss?

Muchas gracias.

Un saludo.
Bromio.

[bertolet]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Evidentemente se dan los mismos resultados, pero la dificultad por un método es mucho más grande que por el otro. Saludos.

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Claro.

De hecho, en este caso, no se anularía ninguna de las componentes $x$, $y$ y $z$...

Muchas gracias.

Todo resuelto.

Un saludo.

[polonio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

¿O si dan los mismos resultados, sólo que expresados en coordenadas distintas? Es decir, ¿en el caso de no utilizarla, el campo resultante quedará expresado en función de los vectores unitarios $\hat{x}$, $\hat{y}$ y $\hat{z}$, pero podrán pasarse a coordenadas esféricas dando la solución de la ley de Gauss?

En cualquier problema el resultado obtenido por integración directa y usando la ley de Gauss es el mismo. Pero en este problema no hay quien construya una superficie gaussiana (es decir, una superficie para la que el campo electrostático tenga el miso valor en todos sus puntos) de forma sencilla, sean cuales sean las coordenadas que usemos, así que hay que usar integración directa.

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

En cualquier problema el resultado obtenido por integración directa y usando la ley de Gauss es el mismo. Pero en este problema no hay quien construya una superficie gaussiana (es decir, una superficie para la que el campo electrostático tenga el miso valor en todos sus puntos) de forma sencilla, sean cuales sean las coordenadas que usemos, así que hay que usar integración directa.

Hola.

¿A cuál de los dos problemas planteados en este hilo te refieres? Porque, en el segundo (una esfera cargada con una distribución uniforme de carga), no veo por qué la superficie gaussiana no podría ser un cascarón esférico que contuviera a la cargada. Por otro lado, ¿no se podría, en el problema del primer mensaje, usar un cilindro como superficie gaussiana?

Gracias.

Un saludo.

[polonio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Hola.

¿A cuál de los dos problemas planteados en este hilo te refieres? Porque, en el segundo (una esfera cargada con una distribución uniforme de carga), no veo por qué la superficie gaussiana no podría ser un cascarón esférico que contuviera a la cargada. Por otro lado, ¿no se podría, en el problema del primer mensaje, usar un cilindro como superficie gaussiana?

Gracias.

Un saludo.

Me refiero al problema original del hilo:

Me piden calcular el campo creado sobre el eje z por un plano circular de radio R, centrado en el origen, y de densidad superficial de carga .

Para este problema no existe ninguna superficie gaussiana fácilmente integrable: el cilindro no vale. No existe ningún cilindro en cuyas superficies el campo creado por el disco plano sea uniforme o nulo. Sólo podemos usar la ley de Gauss si el disco es de radio infinito (esto es, un plano infinito).

Lo del segundo problema que se plantea, (aquí me pongo en el papel de moderador) se debería plantear en otro hilo distinto para no producir este tipo de confusiones. Pero, bueno, para este problema, usa la ley de Gauss, sin duda, si la densidad de carga es uniforme o sólo depende de la coordenada radial esférica. El uso de coordenadas esféricas en lugar de rectangulares hace que las integrales sean infinitamente más sencillas, aunque tampoco hay "nada" que integrar pues uno suele saber cuánto valen el área y el volumen de una esfera.

[Bromio]

Re: Campo creado sobre el eje z por una superficie circular

Para este problema no existe ninguna superficie gaussiana fácilmente integrable: el cilindro no vale. No existe ningún cilindro en cuyas superficies el campo creado por el disco plano sea uniforme o nulo. Sólo podemos usar la ley de Gauss si el disco es de radio infinito (esto es, un plano infinito).

¡Ah! Muchas gracias.

Entendido.

Un saludo.