Otras carreras Problema electrostática 2

[estrada_3]

Hola, estoy aquí de nuevo . He intentado este pero tampoco comprendo porque no me dan los resultados, si sigo al pie de la letra las fórmulas y realizo los cálculos necesarios.

Una esfera, no conductora, posee una densidad de carga de 10 pC/m^3 uniforme en todo su volumen. Si el radio de la esfera es de 10 cm, hallar: (a) el campo eléctrico a las distancias de 1 cm, 10 cm y 20 cm del centro; (b) el potencial en los mismos puntos del apartado anterior.
SOL.: (a) 3,77 mN/C; 37,7 mN/C; 9,42 mN/C (b) 5,65 mV; 3,76 mV; 1,88 mV.

Me salen unos resultados algo raros, y en el apartado del potencial, resultados GIGANTES. Un saludo!

[neometalero]

Re: Problema electrostática 2

No debería, si usas la correspondiente expresión para el cálculo del campo eléctrico:

$$E=\frac{kQ}{{r}^{2 } }$$

donde la carga vale

$$Q=\rho \frac{4}{3 } \pi {r}^{3 }$$

.
Con todo ello a mi me dan los resultados adecuados, has tenido en cuenta los prefijos para la densidad de carga? Está en pico-coulombs, es decir ${10}^{-12 }$.
Por otro lado, me surge la duda, si es conductora...no se supone que el campo en su interior es nulo??
Saludos y de nada!! jeje

[bertolet]

Re: Problema electrostática 2

Para hallar el campo electrostático hay que aplicar el Teorema de Gauss (recuerda, $\dst \oint_S \vec{E} \cdot \vec{\dd s}= \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$, donde $Q_{enc}$ es la carga encerrada por la superficie gaussiana. De hecho, la esfera cargada es una de las aplicaciones típicas que podrás encontrar en cualquier libro o apuntes. Simplemente debes tener en cuenta que, para calcular el campo en fuera de la esfera la carga encerrada es la carga total de la esfera, es decir, $Q_{enc}=\int _{\tau} \rho \dd \tau=\rho \int_0^{2\pi} \dd \phi \int_0^{\pi} \sin \theta \dd \theta \int_0^R r^2 \dd r=\rho \frac{4\pi R^3}{3}$, donde en este caso, $R=10 \text{cm}$, mientras que para hallar el valor del campo en el interior de la misma, deberás tener en cuenta que la carga que se encuentra encerrada por la superficie gaussiana (una esfera de radio $r<R$), viene dada (haciendo la misma integral que antes) por $\rho \frac{4\pi r^3}{3}$. Ahora, como, por simetría, $\vec{E}=E\vec{u_r}$ y $\vec{\dd s}=\dd s\vec{u_r}$, se tiene $\dst \oint_S \vec{E} \cdot \vec{\dd s}=E \oint_S \dd s=E\cdot 4\pi r^2$

La expresión del campo electrostático que se obtiene es:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sustituyendo los datos se obtiene:
$\dst \vec{E}(1 \text{cm})=\frac{10 \cdot 10^{-12}\text{C}\text{m}^{-3}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{C}\text{V}^{-1}\text{m}^{-1}}\frac{10^{-2}\text{m}}{3}=3.77 \cdot 10^{-3} \text{V}\text{m}^{-1}$
$\dst \vec{E}(10 \text{cm})=\frac{10 \cdot 10^{-12}\text{C}\text{m}^{-3}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{C}\text{V}^{-1}\text{m}^{-1}}\frac{10^{-1}\text{m}}{3}=37.7 \cdot 10^{-3} \text{V}\text{m}^{-1}$
$\dst \vec{E}(20 \text{cm})=\frac{10 \cdot 10^{-12}\text{C}\text{m}^{-3}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{C}\text{V}^{-1}\text{m}^{-1}}\frac{\left(10^{-1}\text{m} \right)^3}{3\left( 2 \cdot 10^{-1}\text{m} \right)^2}=9.42 \cdot 10^{-3} \text{V}\text{m}^{-1}$

[bertolet]

Re: Problema electrostática 2

Para el apartado (b):

Para hallar el del potencial debes utilizar que la diferencia de potencial entre dos puntos viene dada por $\dst\phi (b)-\phi (a)=-\int _a^b \vec{E}\cdot \vec{\dd r}$. En electrostática se suele definir el origen de potenciales en $r= \infty$, por lo que el potencial en un punto dado será $\dst\phi (r)=-\int _{\infty}^r \vec{E}\cdot \vec{\dd r}$. Utilizamos la expresión del campo eléctrico hallada en el apartado (a). Así, para $r\geqslant R$, se tiene:

$\dst\phi (r)=-\int _{\infty}^r \frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^3}{3r'^2}\dd r'=-\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^3}{3}\left[-\frac{1}{r'} \right]_{\infty}^r=\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^3}{3r}$ para $r\geqslant R$.

Ahora, para $r<R$, deberemos dividir la integral en dos partes, una desde $\infty$ hasta $R$ y otra desde $R$ hasta el lugar donde queramos hallar el potencial, $r$, pues el campo tiene distintas expresiones en cada región. Así:

$\dst\phi (r)=-\int _{\infty}^R \frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^3}{3r'^2}\dd r'-\int_R^r \frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{r'}{3}\dd r'=-\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^3}{3}\left[-\frac{1}{r'} \right]_{\infty}^R-\frac{\rho }{3\varepsilon_0} \left[\frac{r'^2}{2} \right]_R^r=$
$\dst=\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^2}{3}-\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{r^2}{6}+\frac{\rho }{\varepsilon_0} \frac{R^2}{6}=\frac{\rho}{6\varepsilon_0}\left(3R^2-r^2 \right)$ para $r<R$.

Sin más que sustituir los datos del problema se obtienen los valores esperados.

Saludos.

[neometalero]

Re: Problema electrostática 2

Pues a mi me han salido bien todos los del 1º apartado bien...

[bertolet]

Re: Problema electrostática 2

Pues a mi me han salido bien todos los del 1º apartado bien...

La expresión que utilizas tiene una ambigüedad. Para puntos $r>R$, la expresión de la carga debe ser $Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^3$, donde $R$ es el radio de la esfera cargada y $r$ es el punto en el que queremos calcular el campo. Pero, para puntos $r<R$, esta expresión de la misma debe ser $Q=\rho\frac{4}{3}\pi r^3$, donde ahora $r$ es la distancia al centro de la esfera del punto en el que se quiere calcular el campo. Lógicamente, esto se fundamenta en el Teorema de Gauss. Si no se especifica esto, la expresión es incorrecta, aparte de que serás incapaz de hallar el potencial de forma adecuada.

Así pues, considerando que se utiliza la expresión $Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^3$ para las dos posibilidades, el primer apartado tiene como resultado $\vec{E}(1\text{cm})=3.77 \cdot \text{V}\text{m}^{-1}$, expresión que se asemeja al resultado debido a que la razón $\frac{R}{r}=10$ en este caso, pero no es el mismo, pues difiere en tres órdenes de magnitud. Asímismo, si se utiliza la expresión $Q=\rho\frac{4}{3}\pi r^3$ tanto para puntos interiores como exteriores, el resultado incorrecto se producirá al calcular el campo en el exterior de la esfera, es decir, en el tercer apartado.

[neometalero]

Re: Problema electrostática 2

Así es, respecto tanto a la ambigüedad como a lo de no poder resolver el apartado del potencial. Gracias!!