Otras carreras Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

[panteraxavi]

En primer lugar como me estoy liando con los conceptos de energía potencial y potencial eléctrico, expongo lo que entiendo por ambos conceptos con el fin de si estoy equivocado, poder tener de vosotros una aclaración:

Energía potencial: es la que posee una carga debida a su posición. ¿ Trabajo necesario
para mover una carga de un punto a otro en contra del campo ?.

Potencial eléctrico: Energía potencial por unidad de carga.

Me lio porque no encuentro la diferencia entre ambos conceptos.

En cuanto al problema de obtener campo eléctrico dado un potencial, pongo el enunciado:

[neometalero]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

En este caso no debes usar esa expresión puesto que dispones de cargas puntuales y no un campo no uniforme y obviamente obtendrás un campo eléctrico nulo, dado que en la expresión del potencial no hay dependencia con la distancia.
Debes usar la expresión siguiente, que supongo conocerás:

$$E=k\frac{Q}{{r}^{ 2} }$$

que en realidad es una expresión vectorial.
En ese caso, debes hallar el módulo y dirección del campo eléctrico creado por cada carga sobre el punto P y después hallar la resultante, tanto su módulo como dirección o expresión vectorial.
Ánimo!!

[panteraxavi]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

[bertolet]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

La energía potencial es un concepto relacionado con la fuerza, con las interacciones que se producen en la naturaleza (que son cuatro, gravitatoria, electromagnética y las dos nucleares). Quiere esto decir que la materia almacena energía si se encuentra sometida a interacciones, por ejemplo, las masas posee energía potencial gravitatoria y las cargas posee energía potencial electrostática si interacciona con otras masas o cargas, respectivamente. En este caso, se trata de energía potencial electrostática, y como sabrás se relaciona con la fuerza coulombiana (electrostática), por $\vec{F}=-\nabla U$ (si no sabes lo que es el gradiente de un campo escalar, te aconsejo que estudies lo que son, en matemáticas, campos escalares, campos vectoriales y derivadas parciales antes de intentar entenderlo). Así, la energía potencial electrostática se refiere necesariamente a una carga o un conjunto de ellas. Se dice, además, que es la energía necesaria para establecer (traer las cargas desde el infinito, donde el sistema no tendrá energía potencial pues a distancia infinita las cargas no interaccionarán) dicho conjunto superando la fuerza eléctrica.

Cabe pensar entonces que una sola carga (o una sola masa en el caso gravitatorio, que es totalmente análogo) produce una "perturbación" en todo el espacio de forma que cualquier carga que se introduzca allí sufrirá una interacción electrostática. Así surge el concepto de campo electrostático. Pues de la misma manera que se relaciona el campo con la fuerza, se relaciona el potencial electrostático con la energía potencial electrostática. Tanto el potencial como el campo en un punto del espacio se refieren a la energía potencial y la fuerza que experimentaría una carga de valor unidad situada justamente en dicho punto. Por ello el potencial es energía por unidad de carga, y se relaciona de igual manera con el campo eléctrico: $\vec{E}=-\nabla V$.

No sé si te habrán quedado algo más claros los conceptos.

Respecto al problema que planteas, para hallar el campo eléctrico a partir del potencial es necesario derivar el mismo, mejor dicho, hallar su gradiente, que es una forma de derivación espacial, es decir, para poder realizarla debes conocer el valor del potencial en todo el espacio, o al menos en una región. Conociendo el valor en un solo punto no podrás realizar dicha derivada de la misma forma que no puedes hallar la velocidad de una partícula conociendo únicamente el valor de su posición en un solo instante.

Para hallar el valor del campo en el origen, simplemente debes saber que el campo que crea una carga puntual, según la Ley de Coulomb, viene dado por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y, en virtud del principio de superposición, el valor total del campo será:

$\dst \vec{E} (0)=\left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{4}\vec{u_x}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{-2q}{4}\vec{u_y} \right] \frac{\text{V}}{\text{m}}=\frac{q}{16\pi \varepsilon_0}\left[ \vec{u_x}-2\vec{u_y}\right] \frac{\text{V}}{\text{m}}$

De esta expresión aún no conoces el valor de la carga $q$, para lo cual deberás utilizar el valor del potencial eléctrico que te dan en el enunciado. Como el potencial eléctrico que crea una carga puntual tiene la expresión $\dst V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r}$, obedeciendo el principio de superposición:

$\dst V (0)=\left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{2}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{-2q}{2} \right] \text{V}=\frac{-q}{8 \pi \varepsilon_0}\text{V}$, que es justamente, por el dato del enunciado, $\dst V (0)=\frac{1}{\pi \varepsilon_0}\text{V}$, de donde se tiene $q=-8 \text{C}$, y, sustituyendo en la expresión del campo,

$\dst \vec{E} (0)=\frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\left[ -\vec{u_x}+2\vec{u_y} \right] \frac{\text{V}}{\text{m}}$

[panteraxavi]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Muchas gracias por la aclaración. Respecto al tema del gradiente de un campo escalar. He estado ojeando la web. Bueno, el tema de las derivadas parciales mas o menos he entendido el procedimiento de derivación, pero respecto al gradiente de un campo escalar no encuentro nada que me hable claro para que sirve. Tampoco encuentro ningún ejemplo desarrollado de calculo del campo eléctrico a partir del potencial, derivando como indicas.

Saludos.

[bertolet]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Básicamente, un campo escalar es una función matemática que a cada punto del espacio asigna un valor. Por ejemplo, la energía potencial o el potencial son campos escalares, pues, en cada punto tienen un valor (un número). Un campo vectorial es una función que asigna a cada punto del espacio un vector. Por ejemplo, el campo gravitatorio o electrostático son campos vectoriales.

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Es decir, a cada punto del espacio, que según nuestro campo escalar se le asociaba un único valor, a través del gradiente (que se expresa mediante el operador nabla, es decir, $\nabla$), le asociaremos un vector, con su módulo, dirección y sentido. Este campo vectorial no es uno cualquiera, sino que cumple necesariamente la siguiente propiedad: en cada punto, apunta hacia la dirección del cambio máximo del campo escalar. Esto quiere decir que si nuestro campo escalar asocia al punto, por ejemplo $(0,0,0)$ el valor y la dirección de cambio máximo de este valor alrededor de este punto es el eje x (por ejemplo, en $(1,0,0)$ el campo vale 20, mientras que en otras direcciones vale menos de 20), el gradiente de este campo apuntará hacia el eje x. Esta característica lleva implícito lo siguiente: $\nabla f \cdot \vec{\dd r}=\dd f$. Esto es, el producto escalar del gradiente por el vector desplazamiento (que tiene la dirección que elijamos para desplazarnos) es justamente la variación del campo escalar. Esto implica que el gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares (es decir, las superficies definidas por un mismo valor del campo escalar).

La expresión matemática del gradiente depende del sistema de coordenadas que utilices (si no conoces los sistemas de coordenadas curvilíneos te recomiendo que les eches un vistazo). En coordenadas cartesianas, el gradiente de un campo escalar $f$ se escribe como $\dst \nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{u_x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{u_y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_z}$. Esto da para mucho más y quizás aún no tengas la formación suficiente como para entenderlo adecuadamente, pero si tienes interés investígalo.

Saludos.

[carmelo]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Hola:

Si queres utilizar esa relación, debes de calcular el potencial eléctrico en cualquier punto $(x,y)$ del plano (Es un poco mas complicado, nada mas).

$$V(x,y)=\dst\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\dst\frac{q}{\sqrt{(x+2)^2+y^2}}+\frac{-2q}{\sqrt{x^2+(y+2)^2}}\right]$$

Evaluando en $(0,0)$.

$$V(0,0)=\dst\frac{-q}{8\pi\epsilon_0}=V_p$$

Con lo que la expresión del potencial se puede escribir como:

$$V(x,y)=-2V_p\left[\dst\frac{1}{\sqrt{(x+2)^2+y^2}}+\frac{-2}{\sqrt{x^2+(y+2)^2}}\right]$$

Ahora calculemos el campo eléctrico.

$$E_x=-\frac{\partial V(x,y)}{\partial x }= 2V_p\left\{\dst\frac{-(x+2)}{[(x+2)^2+y^2]^{\frac32}}+\frac{2x}{[x^2+(y+2)^2]^\frac32}\right\}$$

$$E_y=-\frac{\partial V(x,y)}{\partial y }= 2V_p\left\{\dst\frac{-y}{[(x+2)^2+y^2]^{\frac32}}+\frac{2(y+2)}{[x^2+(y+2)^2]^\frac32}\right\}$$

Evaluando en $(0,0)$ se tiene:

$$E_x(0,0)=-\dst\frac{V_p}{2}\qquad E_y(0,0)=V_p$$

Por lo tanto:

$$\mathbf{E}(0,0)=\dst\frac{1}{2\pi\epsilon_0}(-\mathbf{u_x}+2\mathbf{u_y})$$

Saludos
Carmelo

[panteraxavi]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

El que el gradiente en un punto apunte hacia la dirección de cambio máximo del campo escalar, te refieres a:

[panteraxavi]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Disculpa Carmelo por mi ignorancia, pero a pesar de que detallas el cálculo, no llego a entender los pasos.

Saludos.

[bertolet]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Hola, no tienes que "averiguar" la dirección del cambio máximo del campo escalar. Es una característica que va implícita en el gradiente, por lo que su expresión ya te lo garantiza.

Por otra parte, los vectores del campo vectorial no son fijos, quiere decir que si en el punto $(1,0,2)$ el vector que tienes es $(8,5,12)$, no es que tenga origen en $(1,0,2)$ y extremo en $(8,5,12)$, sino que al punto en cuestión le corresponde ese vector (entendido como un vector móvil con origen en $(0,0,0)$).

Lo que debes entender es que el gradiente es una forma de derivación espacial (no puede ser una derivada normal porque en el espacio tenemos tres "variables" y no sólo una), que relaciona campos vectoriales con campos escalares y sus variaciones (como toda derivada). No sé si habrás oído en alguna ocasión que el campo gravitatorio y el electrostático son "conservativos". Que sean conservativos significa que el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria o electrostática desde un punto $a$ hasta otro $b$ no depende del camino que se tome para llegar de $a$ hasta $b$. Eso es equivalente a decir que la fuerza gravitatoria o electrostática (y como ya te expuse, correspondientemente los campos gravitatorios y electrostáticos) deriva de un campo escalar, la energía potencial (el potencial, correspondientemente). Lo verás mejor así:

El trabajo que realiza una fuerza viene dado por $\dst W=\int_a^b \vec{F} \cdot \vec{\dd r}$. Si dicha fuerza deriva de un campo escalar $U$, entonces $\vec{F}=-\nabla U$ (el signo menos se introduce por convenio). Por lo que la expresión del trabajo quedará: $\dst W=-\int_a^b \nabla U \cdot \vec{\dd r}$. Y ahora, si recuerdas las propiedades del gradiente que te introduje en el anterior post, $\nabla U \cdot \vec{\dd r}=\dd U$, por lo que el trabajo queda $\dst W=-\int_a^b \dd U=-(U(b)-U(a))=U(a)-U(b)$, que es una expresión que depende únicamente del valor de la función $U$ en los puntos $a$ y $b$, y no del camino que se recorra para llegar de un punto a otro. Como te digo, tanto el campo (y la fuerza) gravitatorio como el electrostático son conservativos, por lo que existe un campo escalar que los genera a través del gradiente.

Por otra parte, la resolución que te plantea Carmelo es la adecuada para poder utilizar la expresión $\vec{E}=-\nabla V$, teniendo en cuenta que esto implica, precisamente $\dst E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}$ y $\dst E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}$, por lo que simplemente hallas la expresión del potencial en todos los puntos y lo derivas en cada caso para hallar las componentes del campo. De todas formas, con el nivel de conocimientos que tienes, intuyo que la forma de solucionar el problema que te pedirán es la que te puse antes.

Saludos.

[carmelo]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Hola:

Sería bueno que me dijeras que parte no entendistes.

Saludos
Carmelo

[panteraxavi]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Hola Carmelo: son todas las operaciones. Te digo:

[carmelo]

Re: Obtener campo eléctrico si me dan el potencial eléctrico.

Hola:

1) La distancia utilizada es la distancia al punto (x,y), dado que yo quiero calcular el potencial en el punto (x,y). Calculala y vas a ver que da eso.
2) Evaluo en (0,0), porque yo se cuanto vale el potencial en (0,0) y me puedo sacar la q de encima (es decir un calculo encubierto de la carga q).
3) Es una constante que la reescribi para mayor facilidad, podes sustituir $V_p$ por el valor que te dan en la letra.
4) Si, en coordenadas cartesianas si. Asi podes calcular cada una de las componentes
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Recuerda que $\dst\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}$

Saludos
Carmelo