Otras carreras Como resuelvo un sistema de ecuaciones derivado de un circuito en alterna

[lomasdelicioso]

Hola, pues eso que no me manejo muy bien con los numeros complejos y quisiera saber si alguien me puede ayudar con este sistema de ecuaciones:

v1(t) = (4/ sqrt{2}) * sin (10^4*t + ( pi /4))
v2(t) = -(4/ sqrt{2}) * sin (10^4*t - ( pi /4))

Z1 = 219 * e^(j*atan(-9/20))
Z2 = sqrt{800000} * e^(j*atan(1/2))
Zc = -j* 10^2


-V1(t) + v2(t) = i1(t) * Z1 + Zc (i1(t) - i2(t))
0 = i2(t) * Z2 + Zc (i2(t) - i1(t))

Gracias,
lomasdelicioso.

[Al2000]

Re: Como resuelvo un sistema de ecuaciones derivado de un circuito en alterna

Hola, pues eso que no me manejo muy bien con los numeros complejos y quisiera saber si alguien me puede ayudar con este sistema de ecuaciones:
...

No tengo claro si tu duda es representar los voltajes como números complejos o mas bien hacer las operaciones aritméticas con números complejos. Te doy un par de tips y si no te bastan concreta un poco la pregunta.

Empieza por expresar los voltajes como cantidades complejas. Guíate con

$$V_{(t)} = V_0 \, \mathrm {sen} \, (\omega t + \phi ) \quad \longrightarrow \quad V = V_0\, \ee^{j \phi}$$

Las demás cantidades ya las tienes expresadas como números complejos, de manera que sólo te queda resolver el sistema de ecuaciones. Eso lo haces igual que con cualquier sistema de ecuaciones. Si tiene software o una calculadora que maneje números complejos, operas sin ninguna diferencia que con un sistema con números reales.

Si no tienes acceso a hacer las operaciones aritméticas directamente con números complejos, entonces deberás moverte entre las representaciones polar y rectangular de las cantidades. Usa la representacón polar para los productos y cocientes:

$$<br /> \left .\begin{aligned}<br /> z_1 &= r_1\,\ee ^{j \phi_1 } \\<br /> z_2 &= r_2\,\ee ^{j \phi_2 } <br /> \end{aligned}\right \} \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> z_1 z_2 &= r_1 r_2 \, \ee ^{j(\phi_1 + \phi_2)} \\<br /> \frac {z_1} {z_2} &= \frac {r_1} {r_2} \, \ee ^{j(\phi_1 - \phi_2)} <br /> \end{aligned}\right .$$

y la representación rectangular para las suma y restas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Te paso la solución que obtuve con los datos que pones: $I_1 = -0.0103 - 0.0095 j\,,\,\,I_2 = \notcien {-6.1458}{-4} + 0.0015 j$. No pusiste ninguna unidad así que tu sabrás en que unidades de corriente se encuentra el resultado.

Saludos,

Al

[lomasdelicioso]

Re: Como resuelvo un sistema de ecuaciones derivado de un circuito en alterna

Gracias me has dado la idea general, entonces para sumar -v1(t) y v2(t) tengo que pasar eso antes a representación rectangular, pero, ¿cómo paso esos voltajes de cantidades complejas a representación rectangular?, ¿me da 0?, ¿es eso posible?

-v1(t) + v2(t) = -(4/ sqrt{2}) * sin (10^4*t + ( pi /4)) - (4/ sqrt{2}) * sin (10^4*t - ( pi /4)) =
= -(4/ sqrt{2}) * [ sin (10^4*t + ( pi /4)) + sin (10^4*t - ( pi /4)) ]

No sé porque motivo pero t=0 ¿por lo del fasor? y entonces :

= -(4/ sqrt{2}) * [ sin ( pi /4) + sin (- pi /4) ] = -(4/ sqrt{2}) * 0 = 0

No estoy muy seguro de que eso sea cero.

Gracias de nuevo,
lomasdelicioso.

[Al2000]

Re: Como resuelvo un sistema de ecuaciones derivado de un circuito en alterna

Yo me voy a permitir recomendarte que repases en el libro el concepto de representación fasorial de las tensiones y corrientes alternas y también el concepto de coordenadas polares y su relación con las coordenadas rectangulares.

Te doy algunas indicaciones puntuales que no pueden reemplazar en forma alguna lo que puedes conseguir en el libro. Cuando analizas circuitos de corriente alterna usualmente estás trabajando en condiciones estables, donde todas las corrientes y voltajes varían sinusoidalmente en el tiempo con la misma frecuencia. Desde el punto de vista de la representación fasorial es considerar que todos los fasores rotan en el mismo sentido y con la misma velocidad angular, de manera que las diferencias de fase entre voltajes y corrientes se mantienen constantes. En este tipo de circuitos, al plantear las ecuaciones trabajas sólo con los módulos de los fasores, bien sea expresados como valores pico o como valores eficaces, y con los ángulos que forman entre ellos.

Lo primero que tienes que hacer en el análisis que estás planteando es olvidarte del factor tiempo. No vas a trabajar con las funciones seno; sólo vas a usar los módulos de los fasores. Quita de tu sistema de ecuaciones toda indicación del tiempo. Debería quedarte algo así (edito lo que tu escribiste):

-V1 + v2 = i1 * Z1 + Zc (i1 - i2)
0 = i2 * Z2 + Zc (i2 - i1)

donde $\dst V_1 = \frac 4 {\sqrt 2} \ee ^{j \pi /4}\,,\,\,V_2 = -\frac 4 {\sqrt 2} \ee ^{-j \pi /4}$ y las impedancias las que ya conoces. Con un sistema tan pequeño, tal vez sería mas simple resolverlo algebráicamente y al final hacer los cálculos numéricos, especialmente si no tienes una calculadora o el software necesario para trabajar con números complejos.

Respondiendo a tu pregunta sobre la conversión polar-rectangular, la relación entre la coordenada rectangular $(x,y)$ y la coordenada polar $(r,\theta )$ de un punto en el plano se obtiene aplicando las conocidas relaciones en un triángulo rectángulo:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> r &= \sqrt {x^2 + y^2} \\<br /> \theta &= \tan^{-1} \frac y x \\<br /> x &= r \cos \theta \\<br /> y &= r \, \mathrm {sen} \, \theta <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Saludos,

Al