Otras carreras Carga total equivalente en esfera dieléctrica

[Bromio]

Hola.

Me plantean este ejercicio:
El vector de polarización de una esfera dieléctrica de radio $R_0$ es $\vec{P} = \hat{x}P_0$. Determinar la carga total equivalente sobre la superficie y dentro de la esfera.

Evidentemente, el resultado tiene que ser .

Lo que quiero hacer es calcular las densidades equivalentes de carga. Seguidamente, calcular, a partir de ellas, las cargas. La suma debe ser .

$\rho_p = -\nabla \cdot \vec{P} = -\nabla \cdot \hat{x}P_0 = 0$
$\rho_{sp} = \hat{R} \cdot \vec{P} = P_0 \hat{x}\cdot \hat{R} = ?$ ¿Cómo puedo calcular el ángulo entre los dos vectores unitarios, el del eje X y el radia de la esfera?

Tras esto, tendré que calcular $Q_{sp} = \displaystyle\oint_{S'} \rho_{sp}\,dS' = \displaystyle\int_0^\pi \displaystyle\int_0^{2\pi}\rho_{sp} R^2 \sin\theta\,d\phi d\theta$. ¿Sería correcto esto?

Por último, $Q_p = 0$ y la suma total debe ser .

Agradezco cualquier respuesta a estas dos preguntas.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Carga total equivalente en esfera dieléctrica

...
¿Cómo puedo calcular el ángulo entre los dos vectores unitarios, el del eje X y el radia de la esfera?
...

Simplificarías mucho si haces coincidir el eje polar de tu sistema de coordenadas esféricas con la dirección de la polarización. En ese caso el ángulo entre el eje polar y el vector unitario radial es simplemente $\theta$. Alternativamente podrías hacer caso omiso de sistema de referencia alguno y considerar la superficie esférica como compuesta por los infinitos anillos resultantes de "rebanar" la superficie en dirección perpendicular a X. Cada una de estas "rebanadas" o anillos tendría radio $R \, \mathrm {sen} \, \theta$ y ancho $R\,d \theta$ para un área $dS = 2 \pi R^2 \, \mathrm {sen} \, \theta \,d \theta$, siendo $\theta$ el semiángulo subtendido por el anillo y el centro de la esfera (esto sería equivalente a resolver de entrada la integral en $\phi$).

Saludos,

Al

[Terran]

Re: Carga total equivalente en esfera dieléctrica

Está todo correcto, la normal a la esfera no es más que el versor r. Es decir:
$\displaystyle \hat{n} =\hat{r}' =\sin \theta ' \cos \phi '\hat{x} + \sin \theta ' \sin \phi '\hat{y} + \cos \theta ' \hat{z}$
Luego
$\displaystyle {\sigma}_{P }=\hat{n}\cdot \vec{P} = {P}_{0}\sin \theta ' \cos \phi '$
Y con esto te queda que
$\displaystyle {Q}_{P}={R}^{2 }\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{P}_{0}{\sin}^{ 2}\theta ' d\theta ' \cos \phi ' d\phi ' = 0$
Ya que la integral del coseno entre 0 y 2*pi es cero.

Saludos!

PD: lo de las variables primadas es por costumbre.