Otras carreras Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

[Bromio]

Hola.

Llevo una hora dándole vueltas a este ejercicio. Probablemente no sea difícil, pero me falta la chispa que, espero, vosotros podáis prender para que yo pueda continuar.

El ejercicio dice lo siguiente:
Se construye un condensador eléctrico plano con dos placas metálicas cuadradas de $D = 10\,mm$ de lado y, entre ellas, dos láminas del mismo tamaño que las placas y espesores $d_1 = 100\,\mu m$ y $d_2 = 200\,\mu m$, de dos materiales aislantes de permitividades relativas $\epsilon_{r1} = 9,8$ y $\epsilon_{r2} = 2,3$, respectivamente. Se le aplica entre bornes una diferencia de potencial $V_0 = 12\,V$. Se desprecian los efectos de borde. Calcula el potencial eléctrico en cualquier punto del interior del condensador.

No conozco ni $\vec{D}$, ni $\vec{E}$, ni $\vec{P}$, y no puedo calcular las densidades de polarización equivalentes. Aplicar la ley de Gauss en $\vec{D}$ dentro del dieléctrico me da que $\vec{D} = 0$, pues no hay carga libre dentro del dieléctrico (y este resultado para el desplazamiento eléctrico no me parece muy coherente, porque implicaría que el campo es nulo, y no lo es). Asimismo, en los bordes que están en contacto con las placas metálicas, donde sí habrá una densidad superficial de carga, ignoro el valor de ésta.

Lo único que se me ocurre es aplicar la ecuación de Laplace en el interior del condensador, pues allí dentro de no hay carga libre. Claro que, al haber dos dieléctricos, me pierdo un poco.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Asume todo lo que hay que asumir para simplificar el problema (no hay efecto de borde, carga distribuida uniformemente, campos uniformes) y aplica el teorema de Gauss en una superficie que abarque la placa positiva y el primer dieléctrico. Deberás concluir que el campo eléctrico vale $\dst E_1 = \frac Q {\epsilon_{r1} \epsilon_0 A}$ donde por supesto desconoces $Q$. Extiende tu superficie gaussiana para que abarque el segundo dieléctrico; ahora conseguirás que $\dst E_2 = \frac Q {\epsilon_{r2} \epsilon_0 A}$. Termina calculando la diferencia de potencial entre placas, que en este caso se reduce a $\dst \Delta V = E_1 d_1 + E_2 d_2 = V_0$. Ahora puedes hallar $Q$, los campos y el potencial en cada punto.

Saludos,

Al

PD. Como chequeo puedes comprobar lo que obtengas con la manera simple de hallar la capacidad, que es considerar el condensador como dos condensadores en serie, cada uno con su propio dieléctrico.

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Hola.

Muchísimas gracias.

He avanzado mucho en este problema gracias a tu explicación, aunque me siguen quedando algunas dudas.

He extendido una superficie gaussiana, $\Sigma$, en forma de paralelepípedo, de forma que queden contenidos en ella todo el primer dieléctrico y toda la placa inferior del condensador. Carga libre sólo hay en la placa del condensador, y entiendo que es de valor $-Q$ (en la otra placa será de valor $+Q$). Con este conocimiento, podemos aplicar la ley de Gauss en $0 < x < d_1$.

La aplico:
$\displaystyle\oint_\Sigma \vec{D}(\vec{R})\cdot d\vec{S} = Q_{libre}$

$\displaystyle\oint_\Sigma \vec{D}(\vec{R})\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int\int_{\text{Tapa en diel. 2} } D_x(x)\,dS$ $+ \displaystyle\int\int_{\text{Tapa fuera del condensador}} D_x(x)\,dS = 2D_x(x)S$.

Haciendo uso de la relación constitutiva entre $\vec{D}$ y $\vec{E}$, llego a: $\vec{E}_1 (\vec{R}) = \hat{x}\displaystyle\frac{-Q}{2\epsilon_{r1}\epsilon_0 S}$.

Análogamente, llego a $\vec{E}_2 (\vec{R}) = \hat{x}\displaystyle\frac{Q}{2\epsilon_{r2}\epsilon_0 S}$

Estos no son los resultados que debería obtener. ¿Dónde está mi error? Supongo que al aplicar la ley de Gauss.

Gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Una tapa de la superficie gaussiana debe estar en el dieléctrico 1 ó 2, dependiendo de en cual región vas a calcular E (si vas a trabajar con D, no importa si la tapa está en el dieléctrico 1 o 2, pues el desplazamiento es el mismo). La otra tapa debe estar en la placa del conductor. En esta última no habrá flujo por estar contenida en el interior de un conductor.

Respecto al signo, no puedo comentar nada pues no se como estás tomando tu sistema de referencia y el campo lo estás escribiendo vectorialmente. Sin embargo te hago el siguiente comentario: al aplicar el teorema de Gauss, lo que calculas es el módulo del vector y siempre te debe resultar positivo. En tu cálculo, si encierras la carga negativa, entonces D entra a la superficie y el flujo es negativo, de modo que con la carga negativa el resultado es positivo, como debe ser.

¿Supongo que la discrepancia de subíndices en el segundo campo es un error de dedo, o mas bien de copy & paste? La discrepancia en el signo de Q en E1 y E2 si que no me la imagino, ¿será dedo también?

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Gracias. Ya veo cómo colocar la superficie gaussiana. Siempre debo extenderla de forma que me beneficie (lógico), y donde más me beneficia es con una tapa dentro la placa del condensador.

La discrepancia de subíndices, como bien dices, es un error de dedo. Ahora mismo lo cambio. Sin embargo, la de signos es intencionada, pero, según comentas en el segundo párrafo de tu mensaje, debe corregirse y quedar positiva.

Voy a intentar resolverlo ahora con los nuevos conocimientos.

Muchas gracias.

Un saludo.

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Respecto al signo, no puedo comentar nada pues no se como estás tomando tu sistema de referencia y el campo lo estás escribiendo vectorialmente. Sin embargo te hago el siguiente comentario: al aplicar el teorema de Gauss, lo que calculas es el módulo del vector y siempre te debe resultar positivo. En tu cálculo, si encierras la carga negativa, entonces D entra a la superficie y el flujo es negativo, de modo que con la carga negativa el resultado es positivo, como debe ser.

Nunca se me ha dado el caso de que la carga contenida sea negativa. De ahí mis errores. Veo lógico que, como estoy calculando el módulo, el resultado deba ser positivo. Esto me hace pensar en que la formulación de la ley de Gauss debe ser:
$\displaystyle\oint_\Sigma \vec{E}\cdot\,d\vec{S} = \left |\displaystyle\frac{Q_{libre}}{\epsilon_0} \right |$ y el flujo siempre será positivo.

¿No?

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

No, el flujo no tiene por qué ser positivo siempre. En el caso de una superficie cerrada, como es en el teorema de Gauss, un flujo saliente es positivo, mientras uno que entra es negativo. Lo que te dice el teorema de Gauss es que el flujo neto (o flujo total, como prefieras) es proporcional a la carga encerrada por la superficie. Eso, por supuesto, implica que si la carga neta encerrada por la superficie es positiva, entonces el flujo neto será saliente, es decir, positivo, todo eso sin menoscabo que en alguna parte de la superficie pueda haber un flujo entrante.

La observación que te hice en mi mensaje anterior no está directamente relacionada con el signo del flujo, sino mas bien quiso ser un recordatorio de que lo que estás calculando es el módulo del campo. La dirección y sentido del campo se determina previamente con el análisis de la simetría de la distribución de carga. Un resultado negativo en el cálculo del campo implica un error, aunque sea en el análisis de la simetría del problema. La única forma de interpretar que el módulo del campo es negativo, es aceptar que el cálculo nos está diciendo que el sentido del campo real es opuesto al que asumimos al plantear el problema.

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Gracias. Ya lo he entendido.

En cualquier caso, a mí me es indiferente (para este problema) que el flujo sea negativo o no. Por tanto, puedo hacer caso omiso al signo de la carga y hacer el cálculo del flujo como si fuese producido por cargas libres de variedad positiva. O, análogamente, puedo obtener un flujo negativo (por ser causado por la carga negativa, que atraería la carga unitaria positiva) que contrarrestaría el signo menos de la carga.

¿No?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Hola.

Me ha surgido una nueva dificultad con este mismo problema.

Según el solucionario, el resultado debe ser:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No obtengo este resultado.

Yo he utilizado el hecho de que conozco la diferencia de potencial entre ambas armaduras del condensador, es decir, $\Phi(d_1)-\Phi(0) = -\displaystyle\int_0^{d_1} \vec{E}(\vec{R})\cdot d\vec{l} = -\displaystyle\int_0^{d_1} \displaystyle\frac{Q}{2\epsilon_{r1} \epsilon_0 S}\,dx = -\displaystyle\frac{Qd_1}{\epsilon_{r1} \epsilon_0 S}$.

Análogamente, para el otro dieléctrico: $\Phi(d_1 + d_2)-\Phi(d_1) = -\displaystyle\frac{Qd_2}{\epsilon_{r2} \epsilon_0 S}$.

Aplicamos lo que sabemos:
$\Phi(d_1 + d_2)-\Phi(0) = V_0 = -\displaystyle\frac{Qd_1}{\epsilon_{r1} \epsilon_0 S} - \displaystyle\frac{Qd_2}{\epsilon_{r2} \epsilon_0 S}$.

De aquí podemos despejar $Q$ y sustituirla en las expresiones de las diferencias de potencial en cada dieléctrico.

Sin embargo, aquí no queda ninguna dependencia con $x$. ¿Cuál es el problema? ¿Qué estoy pasando por alto?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Hola.

Me ha surgido una nueva dificultad con este mismo problema.

Según el solucionario, el resultado debe ser:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No obtengo este resultado.

Yo he utilizado el hecho de que conozco la diferencia de potencial entre ambas armaduras del condensador, es decir, $\Phi(d_1)-\Phi(0) = -\displaystyle\int_0^{d_1} \vec{E}(\vec{R})\cdot d\vec{l} = -\displaystyle\int_0^{d_1} \displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{r1} \epsilon_0 S}\,dx = -\displaystyle\frac{Qd_1}{\epsilon_{r1} \epsilon_0 S}$.

Análogamente, para el otro dieléctrico: $\Phi(d_1 + d_2)-\Phi(d_1) = -\displaystyle\frac{Qd_2}{\epsilon_{r2} \epsilon_0 S}$.

Aplicamos lo que sabemos:
$\Phi(d_1 + d_2)-\Phi(0) = V_0 = -\displaystyle\frac{Qd_1}{\epsilon_{r1} \epsilon_0 S} - \displaystyle\frac{Qd_2}{\epsilon_{r2} \epsilon_0 S}$.

De aquí podemos despejar $Q$ y sustituirla en las expresiones de las diferencias de potencial en cada dieléctrico.

Sin embargo, aquí no queda ninguna dependencia con $x$. ¿Cuál es el problema? ¿Qué estoy pasando por alto?

Muchas gracias.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Tienes que integrar desde 0 hasta $x$, si quieres que el resultado quede en función de $x$.

Ya aquí llegaste al punto donde el detalle es importante. La apariencia final de $\Phi(x)$ dependerá de la configuración del sistema. No hay nada en el enunciado, al menos lo que copiaste aquí, que diga la posición del condensador ni la polaridad como se aplica la diferencia de potencial. Por ejemplo, mi solución no es igual a la que pones. Fíjate a la expresión que llego yo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Yo tomé el condensador con la placa adyacente al dieléctrico 1 en $x = 0$ como la placa positiva, a potencial $+V_0$, la placa adyacente al dieléctrico 2 en $x = d_1 + d_2$ como la placa negativa, a potencial cero.

En cambio, en la respuesta que pones está claro que el autor tomó el potencial al contrario, con la placa negativa en el origen. Fíjate en la solución indicada que el potencial es cero para $x=0$ y mas importante, que el potencial aumenta con $x$, es decir, que el autor consideró que el campo está dirigido en sentido opuesto al eje X.

Bueno, en concreto, para obtener ese resultado deberás obtener el campo

$\boldsymbol E_{(x)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &- \frac {\epsilon_2} {\epsilon_1 d_2 + \epsilon_2 d_1} V_0\, \boldsymbol u_x \,, & 0 \leqslant &x \leqslant d_1 \\ \\<br /> &- \frac {\epsilon_1} {\epsilon_1 d_2 + \epsilon_2 d_1} V_0 \, \boldsymbol u_x \,, & d_1 \leqslant &x \leqslant d_1 + d_2 <br /> \end{aligned}\right .<br />$

y luego el potencial por integración

$\dst V_{(x)} = - \int_{0}^{x}\! \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l$

Saludos,

Al

PD. Por cierto, recordé haber participado en un hilo similar. Podrías mirarlo si quieres ver una alternativa de solución, en este caso partiendo de la ecuación de Laplace. La mayor diferencia es que en ese hilo la simetría involucrada es cilíndrica.

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Muchas gracias.

Ya he obtenido el resultado.

Agradezco también las aclaraciones que has hecho acerca de los aspectos más físicos del problema (hacia dónde crece el potencial, sistemas de referencia...).

Sólo me gustaría preguntar un detalle. ¿Por qué pones, en tu solución del campo $\leq$ al delimitar las regiones? El potencial sabemos que es continuo, pero, ¿y el campo? ¿Cómo sabemos en este caso que es continuo? ¿Por qué $\leq$ y no $<$?

Gracias.

Un saludo,
Bromio.

[Al2000]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

...
Sólo me gustaría preguntar un detalle. ¿Por qué pones, en tu solución del campo $\leq$ al delimitar las regiones? El potencial sabemos que es continuo, pero, ¿y el campo? ¿Cómo sabemos en este caso que es continuo? ¿Por qué $\leq$ y no $<$?
...

Fué un desliz, en verdad no fui muy riguroso. Estamos claros en que el campo es discontinuo. La capa de carga superficial debida a la distinta polarización de los dos dieléctricos hace que el campo pase abruptamente de un valor al otro (al menos en este caso idealizado).

Saludos,

Al

[Bromio]

Re: Potencial en el interior de un condensador con dieléctricos

Fué un desliz, en verdad no fui muy riguroso. Estamos claros en que el campo es discontinuo. La capa de carga superficial debida a la distinta polarización de los dos dieléctricos hace que el campo pase abruptamente de un valor al otro (al menos en este caso idealizado).

Ah. Ya pensaba que se me estaba escapando algo.

Bueno. Ahora, para sacarle más jugo al problema, quiero calcular la capacidad del condensador.

$C = \displaystyle\frac{Q^{+}}{\Phi^{+}-\Phi^{-}} = \displaystyle\frac{Q^{-}}{\Phi^{-}-\Phi^{+}}$.

De aplicar esta sencilla fórmula obtengo: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Sin embargo, según el solucionario sobra la $\epsilon_0$ del numerador.

¿Por qué? ¿En qué me vuelvo a equivocar?

Muchas gracias.

Un saludo.