Otras carreras Intensidad del campo a partir de vector de polarización

[Bromio]

Hola.

Me han planteando el siguiente ejercicio:
Se tienen dos grandes bloques de un material dieléctrico homogéneo. Ambos tienen una cara plana, enfrentadas entre sí y paralelas, separadas una distancia $d$, muy pequeña comparada con el tamaño de los bloques. Una de esas caras está en $z=-d/2$ y la otra en $z=d/2$. Los dos bloques están polarizados de igual forma: el vector de polarización es uniforme, de amplitud $P_0$, está contenido en el plano $(x,\,z)$ y forma una ángulo $\alpha$ con el eje x.

Calcula el vector de campo eléctrico en el espacio entre los dos bloques.

Se me ocurre calcular el campo a partir de la relación de proporcionalidad que existe entre éste y el vector de polarización: $\vec{P} = \epsilon_0\chi_E\vec{E}$.

Sin embargo, desconozco el valor de la susceptibilidad. ¿Hay alguna manera de calcularlo, o es este un razonamiento inadecuado para este problema?

Muchas gracias.

Un saludo.

[neometalero]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Oxidado me hallo, te dejo algunas cosas a ver si te ayudan.
Para moleculas polares

$${\chi}_{ E} =\frac{n{p}^{2 } }{3kT{\varepsilon }_{ 0} }$$

Para moléculas apolares

$${\chi}_{ E}=\frac{n{q}^{2 } }{ m{\varepsilon }_{ 0}{{\omega }_{ 0} }^{2} }$$

El campo de polarización en un medio polarizado vale

$$\vec{P}=n\alpha (\vec E+\frac{\vec P}{3{\varepsilon }_{0 } })$$

y la susceptibilidad macroscópica

$${\chi}_{E } =\frac{n\alpha/{\varepsilon }_{0 } }{1-n\alpha /3{\varepsilon }_{0 } }$$

Pero la verdad es que dudo que te ayuden en tu problema. Debes deducir del dibujo el vector de polarización correcto y no sé si la susceptibilidad tendrá porqué tener cierta dependencia, pudiera ser constante.
Siento no poder decir mucho más.

[polonio]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Efectivamente, nada del post anterior sirve para resolver el problema.

En el espacio entre los bloques tenemos vacío, así que no necesitas para nada la susceptibilidad eléctrica.

El problema se resuelve por condiciones de contorno: con los saltos de las componentes normales del vector de polarización el las superficies de los dieléctricos tienes las densidades de carga equivalente de polarización. Como no hay cargas libres, no hay salto normal del vector desplazamiento eléctrico. Ya puedes calcular los saltos del campo eléctrico (que es uniforme en el espacio, vacío, entre los bloques).

[Bromio]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Muchas gracias a ambos por participar en el hilo.

El problema se resuelve por condiciones de contorno: con los saltos de las componentes normales del vector de polarización el las superficies de los dieléctricos tienes las densidades de carga equivalente de polarización. Como no hay cargas libres, no hay salto normal del vector desplazamiento eléctrico. Ya puedes calcular los saltos del campo eléctrico (que es uniforme en el espacio, vacío, entre los bloques).

Según el enunciado, entiendo que tengo $\vec{P} = \vec{P}_x + \vec{P}_z = \hat{x}P_0\sin\theta + \hat{z}P_0\cos\theta\,\,C/m^2$

Ahora bien, ¿las condiciones de frontera dónde tengo que aplicarlas? Entre el espacio vacío y, por ejemplo, el dieléctrico en $z = d/2$. Si es así, me quedaría $\hat{z}\cdot\left(\vec{D}_1-\vec{D}_2\right) = 0 \Rightarrow \vec{D}_1 = \vec{D}_2 \Rightarrow \epsilon_0\vec{E}_1 = \epsilon_2\vec{E}_2$.

A partir de ahí no sé cómo continuar. Leyendo el mensaje anterior, creo que estoy comprendiendo algo mal. El problema principal es que no entiendo bien dónde debo aplicar las condiciones de frontera y, en definitiva, por qué.

Agradezco cualquier aclaración.

Muchas gracias.

Un saludo.

[polonio]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Aplica las condiciones de frontera entre cada medio y el vacío.

Como no hay carga libre, $D_{1z}=D_{2z}=0$.

Sigue con las otras condiciones para el campo eléctrico (las componentes tangentes han de ser iguales) y el vector polarización (salto normal...)

[Bromio]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Aplica las condiciones de frontera entre cada medio y el vacío.

Como no hay carga libre, $D_{1z}=D_{2z}=0$.

Con esto llego a la conclusión de que $\vec{E}_{0z} = -\displaystyle\frac{\hat{z}P_0\cos\alpha}{\epsilon_0}$, pero, en realidad, este resultado no lo alcanzo por la condición de frontera, sino por el hecho de que no hay carga libre y que, por tanto, el desplazamiento es nulo.

Sigue con las otras condiciones para el campo eléctrico (las componentes tangentes han de ser iguales) y el vector polarización (salto normal...)

Y esto, ¿de qué me vale si no sé el valor de ninguno de los campos en las distintas regiones?

Muchas gracias.

Un saludo.

[polonio]

Re: Intensidad del campo a partir de vector de polarización

Y esto, ¿de qué me vale si no sé el valor de ninguno de los campos en las distintas regiones?

Hombre, yo diría que conoces perfectamente el valor del vector polarización en todos los puntos del espacio.

Y es nulo el salto normal del desplazamiento eléctrico sobre las superficies (donde sé bien que no hay carga libre), pero no en el resto del espacio. En el problema sabemos bien que el flujo del desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es nulo, así como su divergencia por no haber carga libre distribuida.

Lo que tenemos es:

$\displaystyle z=-\frac{d}{2}\, \to \, \hat{z} \cdot (\vec{D})=0=\hat{z} \cdot (\epsilon_0\vec{E})+\hat{z} \cdot (\vec{P})\, \to \, E_z(-\frac{d}{2}^+)- E_z(-\frac{d}{2}^-)=\frac{P_0 \sin(\alpha)}{\epsilon_0}$

$\displaystyle z=-\frac{d}{2}\, \to \, \hat{z} \times (\vec{D})=\hat{z} \times (\epsilon_0\vec{E})+\hat{z} \times (\vec{P})\, \to \, D_y(-\frac{d}{2}^+)- D_y(-\frac{d}{2}^-)=-P_0 \cos(\alpha)$

Se hace exactamente lo mismo en $\displaystyle z=\frac{d}{2}$ (aunque te da los mismos valores de los vectores, sólo serviría para ver que las densidades superficiales de carga de polarización serían aquí de signo opuesto).

Ahora, en el vacío entre los dieléctricos ya sabes que $\vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}$. Y, además, por no haber carga libre, el flujo de $\vec{D}$ es nulo a través de cualquier superficie cerrada y $\vec{\nabla} \cdot \vec{D}=0$, así que debe ser uniforme (el mismo en el vacío y en el dieléctrico).

Venga, que vamos acercándonos (aunque este ejercicio no es fácil).