1r ciclo circuito con condensador

[kyubirr]

hola tengo un pequeño problemilla con este ejercicio
y es que tengo el circuito y en t=0 se cierra el interruptor por tanto se empieza a cargar el condensador pero me piden las intesidades I1, I2 e I3 en funcion del tiempo es decir segun se va cargando el condensador pero no se como hacerlo he planteado el sistema pero no se como seguir¿?

$\dst {I}_{1 }={I}_{2 }+{I}_{ 3}$
$\dst V={I}_{1 } {R}_{1 }+{I}_{2 }{R}_{2 }$
$\dst {I}_{2 }{R}_{2 }=\frac{Q}{C }+{I}_{3 }{R}_{3 }$

no se si lo que tengo que hacer es poner todas las intesidades como la derivada de la carga en funcion del tiempo, pero eso no me daria un sistema de ecuaciones diferenciales¿? lo pregunto porque no tendria ni idea de resolverlo
muchas gracias
PD: sabeis de algun programa que dibuje circuitos en vez de tener que hacerlo con el paint¿?

[Al2000]

Re: circuito con condensador

Supongo que en el dibujo, ¿donde pones I2 es I3 y viceversa? Lo asumo por las ecuaciones que escribiste...

Tienes tus ecuaciones

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> I_1 - I_2 -I_3 =& 0 \\<br /> R_1 I_1 + R_2 I_2 =& V \\<br /> R_2 I_2 -R_3 I_3 =& \frac Q C <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

a las que tienes que añadir

$$I_3 = \frac {dQ}{dt}$$

Si de las dos primeras ecuaciones eliminas $I_1$ obtienes

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> I_1 - I_2 -I_3 =& 0 \\<br /> (R_1 + R_2) I_2 + R_1 I_3 =& V \\<br /> R_2 I_2 -R_3 I_3 =& \frac Q C <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

y si eliminas $I_2$ de la tercera ecuación obtienes

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> I_1 - I_2 -I_3 =& 0 \\<br /> (R_1 + R_2) I_2 + R_1 I_3 =& V \\<br /> - \left( \frac {R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3 \right) I_3 =& \frac Q C - \left( \frac {R_2}{R_1 + R_2} \right) V<br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Tomando en cuenta (2), la última ecuación puedes escribirla

$$\frac {dQ}{dt} + \frac {R_1 + R_2}{(\Sigma R) C} Q = \frac {R_2}{\Sigma R} V\,,\quad \Sigma R = R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3$$

y la ecuación diferencial (5) la puedes resolver separando varialbles e integrando miembro a miembro:

$$\int_{0}^{Q}\! \frac {dQ}{\dst \frac {R_2}{\Sigma R} V - \dst \frac {R_1 + R_2}{(\Sigma R) C} Q} = \int_{0}^{t}\! dt$$

Bueno, hasta allí te lo dejo. Resta integrar y despejar $Q$, la cual te deberá dar una exponencial decreciente. Una vez tengas $Q$ puedes obtener las corrientes. Revisa todos los pasos, no se me haya colado un error.

Una vez que conozcas el teorema de Thevenin podrás resolver el problema de una forma mucho mas sencilla, reduciendo el circuito a una sola malla equivalente.

Saludos,

Al

[Alriga]

...me piden las intensidades I1, I2 e I3 en función del tiempo...

Si tuviésemos un circuito serie Generador-Resistencia-Condensador podríamos aplicar las conocidas expresiones de la carga de un condensador a través de una resistencia. Para ello primero hay que calcular el circuito equivalente de Thevenin desde los puntos AB del circuito de la izquierda, con el condensador desconectado:

Aplicamos "divisor de tensión" para hallar la diferencia de potencial entre A y B sin el condensador:

$U_{AB}=U_g \ \dfrac{R_2}{R_1+R_2}=U_{th}$

Para calcular la impedancia de Thevenin miramos desde AB (sin el condensador) y con la fuente de tensión cortocircuitada, vemos:

$R_{AB}=R_3+(R_1 || R_2)=R_{th}$

$$R_{th}=R_3+\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$$

$$U_{th}=U_g \ \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$$

Ahora si conectamos el condensador en el circuito de la derecha, ya tenemos un circuito serie batería-resistencia-condensador en el que podemos aplicar los resultados conocidos de carga de un condensador a través de una resistencia.

La constante de tiempo es:

$\tau = R_{th} C$

La 3 corrientes que nos piden, mirando primero en el circuito de la derecha.

$$i_3(t)=\dfrac{U_{th}}{R_{th}} \ \ee^{-t / \tau}$$

La tensión en el condensador

$u_C(t)=U_{th} \ \left ( 1-\ee^{-t / \tau} \right )$

Miramos ahora el circuito de la izquierda para calcular la tensión en la resistencia $R_2$

$u_C=u-R_3 \ i_3$

$u=u_C+R_3 \ i_3$

Y a partir de esta tensión se calculan fácilmente las 2 corrientes que faltan:

$$i_2(t)=\dfrac{u(t)}{R_2}$$

$$i(t)=i_2(t)+i_3(t)$$

Saludos.