1r ciclo Calcular la carga total

[skinner]

Buenas, tengo un ejercicio que me pide calcular la carga eléctrica total en un disco de radio R y grosor nulo con densidad superficial de carga uniforme $\dst {\sigma}_{0}$. Mi primera duda para este tipo de ejercicios: ¿siempre tengo que plantear $\dst {\sigma}_{0}=\frac{\mathrm{dQ} }{\mathrm{dA} }$? ¿Sea o no sea constante la densidad de carga superficial?

Si la respuesta es positiva: ¿cómo expreso dA? (diferencial de área; área suficientemente pequeña del disco). Sé que $A = \pi R^2$, pero no sabría expresar dA.

Espero vuestra ayuda

Un saludo !

[polonio]

Re: Calcular la carga total

En este caso la densidad superficial de carga es homogénea (uniforme) y nos queda:

$$Q = \int \dd Q = \int \sigma_0 \dd A = \sigma_0 \int \dd A = \sigma_0 A = \sigma_0 \pi R^2$$

Pero, en general, si no es homogénea la distribución nos deben dar la densidad en función de la posición y para un disco habría que usar coordenadas polares:

$$\dd A= r \dd r \dd \theta$$

[Al2000]

Re: Calcular la carga total

...
Si la respuesta es positiva: ¿cómo expreso dA? (diferencial de área; área suficientemente pequeña del disco). Sé que $A = \pi R^2$, pero no sabría expresar dA.
...

Pérmiteme ampliar un poco la respuesta de polonio. La forma de la figura cuya área deseas integrar influye poco en la forma del diferencial de área. El efecto de su forma se refleja en los límites de integración.

La expresión matemática del diferencial de área dA es simplemente la que corresponda a la geometría de la figura que uses como dA. Así, usando el ejemplo del disco, tienes todas las opciones siguientes (entre otras):

- Subdividir el disco en "cuadritos" rectos: $\dst dA = dx\,dy$

- Subdividir el disco en bandas verticales u horizontales: $\dst dA = y\,dx \quad \text o \quad dA = x\,dy$

- Subdividir el disco en "cuadritos" curvilíneos: $\dst dA = r\, dr d \theta$

- Subdividir el disco en anillos concéntricos: $\dst dA = 2 \pi r\, dr$

Si la densidad no fuese constante, entonces no tendrías alguna de las opciones. Por ejemplo, no sería raro que la densidad fuese sólo función de $r$, $\sigma = \sigma(r)$. En ese caso la segunda opción no estaría disponible y la primera nos produciría el trabajo adicional de expresar $r$ como función de $(x,y)$.

Saludos,

Al