1r ciclo Problema de campo eléctrico sencillito

[skinner]

problem21_93.docHola! Tengo un ejercicio que es aparentemente fácil (quizá lo es), pero me confunde un poco. Dice:

La carga positiva $+Q$ está distribuida uniformemente a lo largo del eje de las $+x$ de $x = 0$ hasta $x = a$. La carga negativa $-Q$ está distribuida uniformemente a lo largo del eje de las $-x$ de $x = 0$ hasta $x = -a$. Hay una carga puntual positiva $q$ sobre el eje positivo de las $y$, a una distancia $y$ del origen. Calcular el campo eléctrico que se ejerce sobre la carga puntual.


Yo sabría hacerlo si se tratase de toda una distribución lineal de carga positiva, pero me confundo un poco si me los mezclan. Mi razonamiento:

Debido a la simetría que el sistema presenta, la componente vertical del campo se anula, quedando tan sólo la horizontal:

$\dst d\vec{E_{x}}=\left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{r^2}\cdot \cos \theta \right) \hat{\imath}$

Siendo $\dst \cos \theta = \frac{x}{r}$ ,con $x$ variable desde $x=0$ hasta $x=a$. Todo esto para la distribución lineal positiva de carga.

Para la distribución lineal negativa de carga, tenemos un razonamiento similar. Lo que yo hago es entonces calcular el campo total sumando los dos campos horizontales (al ser iguales, multiplico el que ya tenemos por 2). Finalmente resulta:

$\dst d\vec{E_{x}}=\left( \frac{1}{2\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{r^2}\cdot \cos \theta \right) \hat{\imath}$

Hasta aquí, ¿es mi razonamiento correcto? Téngase en cuenta que $\dst dq = \lambda dx$, y que $\dst r^2 = x^2+y^2$, y que $\dst \cos \theta = \frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ por lo que sustituyendo obtenemos:


$\dst d\vec{E_{x}}=\left( \frac{1}{2\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{\lambda dx}{x^2+y^2}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } \right) \hat{\imath}$


No sé hasta qué punto mi razonamiento es correcto, y si así fuera... ¿lo único que me queda es integrar? ¿Y qué límites utilizo, sabiendo que ya he calculado el campo total como la suma de campos resultantes?

Gracias por la ayuda

PD: Os adjunto un .doc con la solución a la expresión del campo total resultante. Es la primera de todas las expresionen. Luego calcula la fuerza sobre $q$.

Un saludo!

[_L_]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

Es sencillo lo hare por superposicion de campos normal:

Por un lado para el campo en eje Y direccion j se puede ver que por la simetria del problema el campo tiene componente j, Ej=0

En el eje i el campo es el doble del creado por solo la carga positiva asi que solo calculare la componente i del campo creado por la parte positiva para x>0

Para ello Tengo la$Ei=\int dEi = \int sen\alpha dq*k/d^2 = k * \int sen\alpha dq/d^2$ => utilizo la densidad de carga llamemosla $\lambda$ (normalmente landa) => $k* \int sen\alpha dq/d^2 = k* \int sen\alpha dx*\lambda /d^2 = k\lambda \int dx/d^2$=> ahora voy a transformar eso un poco:

$tan\alpha=x/y$donde y posicion del punto. => $x=tan\alpha*y$ => derivo y => $dx=y*1/cos\alpha^2 d\alpha$

sustituyo en lo que tenia antes y :$k\lambda \int ysen\alpha /(d^2 * cos\alpha^2) d\alpha$ =>

ahora $cos\alpha=y/d => d=y/cos\alpha$

sustituyo nuevamente y:

$k\lambda \int sen\alpha y/(y^2/cos\alpha^2*cos\alpha^2) d\alpha$=> simplifico =>$K\lambda \int sen\alpha/y d\alpha= K\lambda/y \int sen\alpha d\alpha<br />$
Ahora solo falta poner limites a la integral y $\alpha$va desde 0 hasta el $arctg(a/y)$, y la integral del sen es el $-cos\alpha$...$cos0=1$ y luego cos del otro angulo.
Luego multiplica por 2 por la simetria y dale direccion que es -i, luego tan solo multiplica por la carga que pongas en el punto y tienes E

Lo siento pero no se hacer que en vez de /int se vea el simbolo de integral o d/alpha se vea diferencial de alpha, entiendo que asi queda muy feo y dificil de entender por favor diganme que debo poner

[skinner]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

Menudo desorden, jeje... No veo muy bien la forma en la que la resolviste. ¿Miraste la mía? ¿Es correcta?

Un saludete!

[_L_]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

Lo que pasa es que no se ponertelo en limpio a ver simplemente es integrar y asi sumar asi que sumo diferenciales de campo.

llamare a alpha S por falta de abecedario vale? y a landa(densidad de carga) la llamare L y es el angulo que forman la linea que seria la distacia d y la linea del eje Y en el que se encuentra el punto.

como bien dijistes por la simetria solo hay componente i Ei=Integral (dEi) =K Integral ( sen S* dq/d^2) = KL integral( sen S dx/d^2)

Ahora viene un cambio que tu no utilizastes y creo que es importante o yo siempre resolvi estos problemas asi.
tanS=x/y => x=tanS * y => derivo => dx=1/cos(S)^2 *y * dS y el otro cambio d^2=y^2/cos(S)^2

al sustituir me queda KL integral ( SenS/y dS) y "y" es constante luego.... KLY integral (senS dS) los limites de integracion de S va desde 0 hasta la arctg(a/y)...


asi esta mas claro? eso espero siento por la notación, multiplica por dos ese resultado y dale direccion -i ,ese es el problema resuelto

-en tu calculo es correcto pero a ver como haces esa integral pasalo a coordenadas polares siempre es mas facil tienes x^2+y^2 que es ro^2 en polares y raiz de esto mismo es ro a secas luego x tienes que cambiar y dx tambien a d/alfa, por salir tiene que salir pero a mi no me gusta hacer esas pedazo integrales jejeje mira mi metodo, es correto y me ahorro integrar. Ademas yo me centro en otro angulo que tu para que me entiendas donde tu dices r yo he dicho d, y para mi cosS=y/d no x/d como tu... aver si asi lo entiendes

como bien dijistes solo te queda integrar efectivamente con limites desde 0 hasta a... pero a ver si eres capaz jeje, hazlo y compara resultado con lo mio, pero de aconsejo que si tevas a a atrever pases a polares me da que sera mas sencillo, aun asi prefiero mi metodo haz un esfuerzo y leelo

PD: dime como haces para escribir en notacion correcta por favor por un mensaje privado o algo

[Al2000]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

_L_, para que las ecuaciones salgan en el texto, debes encerrarlas entre las etiquetas [TEX][/TEX] de esta forma: [TEX]\alpha[/TEX] saldrá como $\alpha$. Si tienes símbolos grandes como la integral, usa de primerito el comando "\dst", o usa la etiqueta [TEX=null] o [TEX=*] en lugar de la etiqueta [TEX] de inicio. En el primer caso la ecuación irá solita en una línea y centrada entre márgenes; en el segundo caso adicionalmente será numerada.

skinner, tu razonamiento de simetría es correcto. Puesto en palabras sencillas, la mitad positiva crea el mismo campo horizontal hacia la izquierda que la mitad negativa. Entonces calcula el campo horizontal de la mitad positiva y multiplícalo por dos. Alternativamente y en forma mas general (ya que dices que lo sabrías hacer si toda la carga fuese positiva), puedes plantear tu integral como si el filamento fuese positivo de densidad $\lambda_{(x)}$, pero no consideres que $\lambda$ es constante, sino que vale $-\lambda$ desde $x = -a$ hasta $x = 0$, y $+ \lambda$ desde $x = 0$ hasta $x = a$. Entonces tu integral se divide en dos partes: $\dst \boldsymbol E = k \int_{-a}^{a}\! \frac {\lambda_{(x)} \boldsymbol r}{r^3} dx = k \int_{-a}^{0}\! \frac {(-\lambda) \boldsymbol r}{r^3} dx + k \int_{0}^{a}\! \frac {(+\lambda) \boldsymbol r}{r^3} dx$.

Saludos,

Al

PD. Mirando a posteriori el .doc que incluiste en tu primer mensaje, veo que debes calcular el campo en otro punto en donde la simetría ya no aplica por estar las cargas positivas y negativas a diferentes distancias. En ese caso la forma que te sugerí al final (considerar $\lambda$ variable) sigue siendo aplicable.

[_L_]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

gracias Al ahora esta mucho mas claro echar un ojo a mi procedimiento y te ahorras integrar esa pedazo integral

[skinner]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

Al, me ha encantado la forma tan elegante de proponer la solución como una integral dividida por cada trozo de una función de dos ramas. Lo probaré así como has dicho

_L_, gracias por tu ayuda, también ha sido fantástica. Aunque esa integral no es tan difícil, ya me he enterado (en mi otro post) que tiene solución sencilla con el cambio y=x·tan t

Un saludo!

[_L_]

Re: Problema de campo eléctrico sencillito

cierto no es mas que una irracional que es facil pasar a racional con un cambio de variable, igual haz como lo entiendas mejor.Tu metodo puede ser mas grafico el mio mas abstracto ^_^