1r ciclo calcular energía electrostática

[joselito333]

Hola, pués resulta que me mandaron, hace un par de días, un ejercicio cuyo enunciado es tan simple como: Calcular la energía electroestática del nucleo del uranio sabiendo que la pareja de cargas mas alejadas entre sí tienen un diametro de 10cm.
Es decir imaginemos una esfera (que sería el nucleo) pues una carga que esté en el extremo de la cara éste del núcleo dista a 10cm de la cara que está en el otro extremo (cara oeste)

Graficamente tenemos que si éste es el nucleo (. .)
Imaginemos que los puntos son las cargas que se encuentran más al extremo, pues una carga en el extremo izq dista a 10 cm de una del extremo derecho (. 10cm .)

Bien, sabemos que el uranio tiene numero atómico 92. Pues aplicando la formula de la carga electrostatíca --> K (q1*q2)/r tendriamos que aplicarla carga a carga lo cual nos conllevaría media vida porque tendriamos que realizar una sumatoria de 4100 ecuaciones (92*45).

La solución se que se encuentra aplicando el método de montecarlo que sería en vez de coger 92 cargas coger 10 al azar que representarian un 9.2% del total. Y con ellas calcular el resultado. Pero a pesar de que estoy harto de buscar no consigo nisiquiera hilar el problema... No doy pie con bola de como resolverlo.

Un saludo a todos. Espero que haya alguna mente iluminada que sepa o más que sea me entienda xD jeje.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

No me imagina un núcleo de uranio así de gordo, ¿seguro que son $10\, cm$ la separación y no $10\, fm$?

Bueno, pues si preguntan la energía electrostática yo no usaría la ley de Coulomb (para calcular la fuerza), sino:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i \neq j}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

Pero, aun mejor, considera la esfera como una distribución continua de carga uniforme y esférica de radio la mitad de la separación máxima que te dan, con carga total 92e. Al considerar así el núcleo puedes calcular al campo electrostático mediante la ley de Gauss y calcular la energía:

$$\dst U=\frac{1}{2} \int _{esp.} \epsilon_0 (\vec{E})^2 \dd \tau$$

donde $esp.$ significa extendida a todo el espacio y $\dd \tau$ es un elemento (diferencial) de volumen.

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

No me imagina un núcleo de uranio así de gordo, ¿seguro que son $10\, cm$ la separación y no $10\, fm$?

Bueno, pues si preguntan la energía electrostática yo no usaría la ley de Coulomb (para calcular la fuerza), sino:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i \neq j}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

Pero, aun mejor, considera la esfera como una distribución continua de carga uniforme y esférica de radio la mitad de la separación máxima que te dan, con carga total 92e. Al considerar así el núcleo puedes calcular al campo electrostático mediante la ley de Gauss y calcular la energía:

$$\dst U=\frac{1}{2} \int _{esp.} \epsilon_0 (\vec{E})^2 \dd \tau$$

donde $esp.$ significa extendida a todo el espacio y $\dd \tau$ es un elemento (diferencial) de volumen.

Antes que nada: muchísimas gracias Polonio. Y bien, tengo algunas preguntas. Si suponemos que seleccionamos la primera forma.
Luego

$$\epsilon_0$$

¿Es la permeabilidad electrica?. Es que esa constante no la entiendo.
Y las distancias que aparecen en el denominador

$$\vec{r}_i-\vec{r}_j$$

¿Cómo las hallo?.

La segunda ecuación la entiendo un poco menos aunque parezca más simple.

Perdona mi ignorancia, pero soy más de de otros temas jeje. Bueno de todas formas ya se agradece la respuesta. Muchas gracias por la ayuda.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

Antes que nada: muchísimas gracias Polonio. Y bien, tengo algunas preguntas. Si suponemos que seleccionamos la primera forma.
Luego

$$\epsilon_0$$

¿Es la permeabilidad electrica?. Es que esa constante no la entiendo.

Es la permitividad eléctrica y vale, aproximadamente, $\dst 8.85 \times10^{-12} \frac{F}{m}$.

Y las distancias que aparecen en el denominador

$$\vec{r}_i-\vec{r}_j$$

¿Cómo las hallo?.

Puedes tomar el origen de coordenadas en el centro de la esfera y $\vec{r}_i$ es la posición de la carga "i" y $\vec{r}_j$ la de la carga "j". Para calcularlas tienes que promediar la posición de todas las cargas (que son ¡92!) y hacer el sumatorio que son una burrada de términos... Yo jamás lo haría así.

La segunda ecuación la entiendo un poco menos aunque parezca más simple.

Pues esta es la forma sensata de hacerlo. Lo siento.

¿Sabes calcular el campo electrostático del núcleo mediante la ley de Gauss? No creo que alguien de una ingeniería no sepa hacer esto (ni sepa lo que es la permitividad eléctrica)... ¿cuál es tu nivel real?

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Pues esta es la forma sensata de hacerlo. Lo siento.

¿Sabes calcular el campo electrostático del núcleo mediante la ley de Gauss? No creo que alguien de una ingeniería no sepa hacer esto (ni sepa lo que es la permitividad eléctrica)... ¿cuál es tu nivel real?

Lo de l apermitividad eléctrica si lo conocía solo que no nombrada por $\epsilon_0$, si no solo por $\epsilon$ o en el caso del vacío (Epsilon sub-cero).

Mi nivel actual es 1º de ingeniería de diseño técnico industrial. Y estoy recién comenzando mi 2º cuatrimestre con éste tema. Pero bueno en el primero no hemos visto nada de eso y lo que sé, lo sé por Bachillerato. Sí, así es la educación en España. Pero bueno...

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

Pues, eso, empieza calculando la densidad de carga del núcleo y, a partir de ahí, el campo electrostático por la ley de Gauss.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

Lo de l apermitividad eléctrica si lo conocía solo que no nombrada por $\epsilon_0$, si no solo por $\epsilon$ o en el caso del vacío (Epsilon sub-cero).

Si eso es lo que yo he puesto, la permitividad eléctrica del vacío: épsilon sub cero ($\epsilon _0$)... Y tú, para colmo, has dicho permeabilidad eléctrica, cosa que no existe (sí la permeabilidad magnética)

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Es cierto. Error mio. Sería un lapsus. Bueno me han dado algún empujón y ya he llegado a esto (Por cierto necesitariamos Matlab):

Podríamos generar una posición aleatoria de una carga y luego generar 91 posiciones aleatorias más y mirar las distancias entre cada posición y la primera de ésta, luego guardar todo esto en un vector y finalmente sumarlo. El codigo se modificaría solo un poco, creo:



N=input('Número de Veces que desea hacer la medida ');
for j=1:N
r01=rand;
r02=rand;
r03=rand;
x0=-0.5+r01;
y0=-0.5+r02;
z0=-0.5+r03;
K=9*10^9;
q=1.602*10^-19;
for i=1:91
r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
r2=rand;
r3=rand;
x=-0.5+r1;
y=-0.5+r2;
z=-0.5+r3;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%


if x^2+y^2+z^2<=(0.5)^2 %Hace que todo esté dentro de una esfera de radio 0.5%
dist0=sqrt(x0^2+y0^2+z0^2);
dist=sqrt(x^2+y^2+z^2);
if dist~=dist0 %Si las posiciones son distintas%

E(i)=(K/2)*q^2/abs(dist-dist0); %Aquí supongo que las cargas son iguales e igual a la carga del electrón%

end

hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end


end

Ener(j)=sum(E); %Te da la energía de interacción total%
end
Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %

He hecho varias veces el experimento 100 veces, el cual me ha arrojado los resultados:

3.1984e-025 J ; 3.2111e-025 J ; 2.5410e-025 J ; 3.7679e-025 J ; 3.4321e-025 J ; 7.6376e-025 ; 2.7494e-025 J ; 3.3303e-025 J.

Notarás que hay un valor promedio cerca de 3.

La gráfica de los TODOS los puntos que ha tomado es la siguiente:

Notarás que se ha hecho una distribucion casi uniforme sobre la esfera, es decir, se han tomado muchas posiciones aleatoriamente. Ahora bien, la medida mejorrará al aumentan N. Si quierees esto, te recomiendo que quites las siguientes líneas

hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end

Para que no grafiques y no se demore mucho el programa.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

No está nada mal la idea, salvo que las distancias relativas están mal calculadas: las distancias relativas no son la diferencia de las distancias al origen, serán sqrt((x-xo)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2). Tampoco tienen por qué tenerdistintas distancias al origen, sólo que no tienen que coincidir los puntos. Y, por último: faltan muchos sumatorios...

Prueba ahora.

Ya te daré la solución analítuca suponiendo una distribución continua.

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Tienes razón. No habia notado que la fórmula que pones está hecha vectorialmente, por lo que la distancia relativa se calcula como dices.

La parte de que no coincidan los puntos se puede arreglar (dado que la distancia esta mala) de la siguiente forma:

N=input('Número de Veces que desea hacer la medida ');
for j=1:N
r01=rand;
r02=rand;
r03=rand;
x0=-0.5+r01;
y0=-0.5+r02;
z0=-0.5+r03;
K=9*10^9;
q=1.602*10^-19;
for i=1:91
r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
r2=rand;
r3=rand;
x=-0.5+r1;
y=-0.5+r2;
z=-0.5+r3;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%


if x^2+y^2+z^2<=(0.5)^2 %Hace que todo esté dentro de una esfera de radio 0.5%

if sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2)~=0
dist=sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2);

E(i)=(K/2)*q^2/dist; %Aquí supongo que las cargas son iguales e igual a la carga del electrón%

end

hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end


end

Ener(j)=sum(E); %Te da la energía de interacción total%
end
Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %



Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %

Y no veo lo de las sumas. Cuando hago el for i=1:N genero i-cargas en i-posiciones distintas, las cuales me dan i-energías, que pongo en un vector de la forma

E=[E1,E2,E3,...,E91]

Y el comando sum(E) hace lo siguiente

sum(E)=E1+E2+E3+...+E91

Que es igual a la suma que planteas.

Todo esto da la energía de interacción promedio de todas las 91 cargas con la carga en posición (x0,y0,z0) al haberla medido en N experimentos con distribuciones de carga aleatorias.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

Es que la energía electrsotática del núcleo es la suma para todas las cargas. Cuando te puse la expresión:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i \neq j}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

el suamtorio es doble (para los índices $i$ y $j$). Te lo escribo de otra forma para que lo veas mejor:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^{92}\sum_{j (\neq i) =1}^{92}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

porque cada carga interactúa con todas las demás (excepto ella misma) y no sólo con la que está en $(x_0,y_0,z_0)$.

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Es que la energía electrsotática del núcleo es la suma para todas las cargas. Cuando te puse la expresión:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i \neq j}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

el suamtorio es doble (para los índices $i$ y $j$). Te lo escribo de otra forma para que lo veas mejor:

$$\dst U=\frac{1}{8\pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^{92}\sum_{j (\neq i) =1}^{92}\frac{q_i q_j}{|\vec{r}_i-\vec{r}_j|}$$

porque cada carga interactúa con todas las demás (excepto ella misma) y no sólo con la que está en $(x_0,y_0,z_0)$.

Qué te parece este código?

x=-0.5+rand(1,92);
y=-0.5+rand(1,92);
z=-0.5+rand(1,92);
k=9*10^9;
q=1.602*10^-19;

for i=1:92
x0=x(i);
y0=y(i);
z0=z(i);

for j=1:92
X=x(j);
Y=y(j);
Z=z(j);
if (X-x0)^2+(Y-y0)^2+(Z-z0)^2<=(0.5)^2
dist=sqrt((X-x0)^2+(Y-y0)^2+(Z-z0)^2);
if dist~=0
E0(j)=(k/2)*q^2/dist;
end
end

end
E00(i)=sum(E0);
end

Etotal=sum(E00)


Las primeras líneas hacen tres vectores de posiciones en x, y e z entre 0.5 y 0.5.

Luego se entra a un ciclo, en donde se mira la i-ésima partícula de coordenadas x(i), y(i) y z(i).

Ahora se pasa a un nuevo ciclo en donde se calcula la distancia entre las coordenadas antes mencionadas con las coordenadas x(j), y(j) y z(j). Luego se pregunta si los puntos a considerar están dentro de la esfera, si es así, se pregunta si no se está calculando la distancia al mismo punto, si nos dice que es un punto distinto, halla la energía de interacción de la partícual i-ésima con cada partícula. Cada energía se guarda en la posicion de un vector de j-componentes.

De esta forma, la i-ésima energía de interacción, o la energía de interacción de la partícula i con el resto de particulas, es la suma de las energía del vector mencionado anteriormente. Cada energía de interacción se guarda en un vector de i-componentes.

Finalmente, la energía total será la suma de las energías de interacción de cada partícula con el resto, es decir, la suma de las energías del vector de i-coordenadas.

No sé si el cófigo estará bien puede que haya errores...

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Entonces damos a lo anterior como una solución válida ¿no?.

[polonio]

Re: calcular energía electrostática

Bueno, parece que es correcto pero prefiero hacerlo mediante la distribución continua (más tarde busco tiempo y publico la respuesta).

¿Te obligaban a hacerlo así, con una distribución discreta y con cálculo numérico?

[joselito333]

Re: calcular energía electrostática

Pues sí, hay que hacerlo mediante cálculos matemáticos tratándose como una distribución discreta. Muchísimas gracias por el tiempo y por la ayuda de éstos días. Un saludo!!!

P.D: La medida del radio eran al final 10fm como decias y no 10cm.

Como dijo Bohr: "Aquellos que no quedaron disgustados, la vez que se iniciaron con la mecánica cuántica, seguramente no la entendieron."