Ayuda ejercicio campo electrico

[troymc]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Hola:

Aca va la resolución.
El campo eléctrico se calcula de acuerdo a la siguiente expresión.

$$\mathbf{E}=k\dst\int\dst\frac{\mathbf{r}}{r^3} \dd q$$

El radio vector entre un elemento diferencial de carga $\dd q = \lambda_\circ\cos \theta\dd \ell$, de coordenadas $(0,y,z)$ y el punto en cuestión de coordenadas $(x,0,0)$ es:

$$\mathbf{r}=x\hat{x}-y\hat{y}-z\hat{y}=x\hat{x}-R\sin\theta\hat{y} -R\cos\theta\hat{z}$$

y el módulo es:

$$r=\sqrt{R^2+x^2}$$

Por lo tanto el campo es:

$$\mathbf{E}=\lambda_\circ k\left[\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{Rx\cos\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd \theta\hat{x}-R^2\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{\sin\theta\cos\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd\theta\hat{y}-R^2\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{\cos^2\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd\theta\hat{z}\right]$$

Evaluando la integrales, se observa que las dos primeras se anulan y en la tercera hay que tener en cuenta que$\dst\int_\circ^\pi\cos^2\theta\dd\theta=\dst\frac{\pi}2$
Por lo tanto el campo buscado es:

$$\mathbf{E}=-\dst\frac{\lambda_\circ }{8\epsilon_\circ}\dst\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\hat{z}$$

Saludos
Carmelo

Con que se reemplazaria z y Eo en la ultima ecuacion para este ejercicio?
Muchas gracias.

[polonio]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Porque $\dst\frac{\mathbf{r}}{r^3}=\dst\frac{\mathbf{u_r}}{r^2}$

[skinner]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Gracias por tu corrección, ha sido de verdadera utilidad. Pero una pregunta, donde has puesto:

$\mathbf{E}=k\dst\int\dst\frac{\mathbf{r}}{r^3} \dd q$

quiero saber por qué has puesto la r al cubo abajo.

Un saludo!

[carmelo]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Hola:

Aca va la resolución.
El campo eléctrico se calcula de acuerdo a la siguiente expresión.

$$\mathbf{E}=k\dst\int\dst\frac{\mathbf{r}}{r^3} \dd q$$

El radio vector entre un elemento diferencial de carga $\dd q = \lambda_\circ\cos \theta\dd \ell$, de coordenadas $(0,y,z)$ y el punto en cuestión de coordenadas $(x,0,0)$ es:

$$\mathbf{r}=x\hat{x}-y\hat{y}-z\hat{y}=x\hat{x}-R\sin\theta\hat{y} -R\cos\theta\hat{z}$$

y el módulo es:

$$r=\sqrt{R^2+x^2}$$

Por lo tanto el campo es:

$$\mathbf{E}=\lambda_\circ k\left[\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{Rx\cos\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd \theta\hat{x}-R^2\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{\sin\theta\cos\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd\theta\hat{y}-R^2\dst\int_0^{\pi}\dst\frac{\cos^2\theta}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd\theta\hat{z}\right]$$

Evaluando la integrales, se observa que las dos primeras se anulan y en la tercera hay que tener en cuenta que$\dst\int_\circ^\pi\cos^2\theta\dd\theta=\dst\frac{\pi}2$
Por lo tanto el campo buscado es:

$$\mathbf{E}=-\dst\frac{\lambda_\circ }{8\epsilon_\circ}\dst\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\hat{z}$$

Saludos
Carmelo

[carmelo]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Hola:

2º) Nos piden la MAGNITUD del campo. Ésta será la contribución de las magnitudes de campo originadas por elementos diferenciales de nuestro hilo que es una semicircunferencia. Entonces .....

Una aclaración importante. El campo eléctrico es un vector y debe ser considerado como tal en todo momento. En el caso que se nos solicite el modulo, eso no nos exime de calcular el vector campo eléctrico. El calcular el módulo es el último paso.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Ayuda ejercicio campo electrico

Qué tal Juan, a ver si tienes la solución por ahí y comparamos el resultado. Mi procedimiento fue el que sigue:

1º) Tenemos una densidad de carga lineal que es función del ángulo $\theta$. En concreto, $\lambda=168\cos{\theta} \Rightarrow dq=\lambda dl$

2º) Nos piden la MAGNITUD del campo. Ésta será la contribución de las magnitudes de campo originadas por elementos diferenciales de nuestro hilo que es una semicircunferencia. Entonces (usando la Ley de Coulomb):

$$E=\int dE=\int\frac{k\lambda dl}{r^2}$$

3º) Usando la geometría, llegamos a que: $r^2=R^2+x^2=1.7^2+5^2=27.89[m^2]$

4º) Sustituyendo en la integral y sacando factores constantes fuera de la integral:

$\dst E=\frac{168\cdot k}{27.89}\int_{0}^{\pi R} \cos{\theta}\cdot dl$

5º) Finalmente:

$\boxed{\dst E=289.54\cos{\theta}[V/m]}$

Observa que $\cos{\theta}$ no depende de dl.

Ten cuidado porque la densidad de carga lineal te la dan en nC/m, y lo debes pasar a C/m multiplicando obviamente por 10^(-9)

Recuerda que el campo también puede medirse en [N/C]

Mira a ver si es correcto con tu resultado lo cual no puedo asegurar. O si alguien corrige mi deducción en caso de estar mal...

Un saludo!

[JuanPerez]

Podrian ayudarme con este ejercicio?



De antemano muchas gracias.