1r ciclo Valor medio del potencial en una esfera.

[lindtaylor]

Si $\varphi (x,y,z)$ es armónica, es decir, solución de la ecuación de Laplace, entonces el valor medio de $\varphi$ sobre la superficie de una esfera cualesquiera (NO necesariamente pequeña) es igual al valor de en el centro.
Demostración: En el caso de un potencial eléctrico en regiones sin carga. El trabajo
para traer $Q$ distribuida sobre una esfera en presencia de $q$ sería: $Q$ veces el valor medio
sobre la esfera del potencial debido a $q$.

Pero sabemos que este trabajo sería el mismo que si hubiésemos tenido primero la carga
de prueba y luego traemos a $q$ desde el infinito. En este caso el trabajo sería el mismo que si $Q$ estuviera en el centro de la esfera en lugar de estar distribuida sobre la superficie.
Si hay más fuentes usamos el principio de superposición tal de incluir todos los manantiales.

No entiendo esta demostración, sé que el promedio de una función cualquiera es $\displaystyle <f>=\frac {1}{T}\int_{0}^Tf(t)\mathrm{d}t$ pero no veo de donde sale la conclusión de que "El trabajo para traer $Q$ distribuida sobre una esfera en presencia de $q$ sería: $Q$ veces el valor medio
sobre la esfera del potencial debido a $q$."

¿Alguien me podría aclarar un poco mas?

Gracias de antemano. .

[[Beto]]

Re: Valor medio del potencial en una esfera.

Hola, la demostración del ejercicio de una forma algo más rigurosa se realiza de la siguiente manera:

Considerando la segunda identidad de Green

$$\oint_S\left(\phi\frac{\partial \psi}{\partial \vec n}-\psi\frac{\partial \phi}{\partial \vec n}\right)\dd \vec r^2=\int_V (\phi\nabla^2 \psi-\psi\nabla^2 \phi)\dd \vec r^3$$

donde para este caso en particular $S$ sería la superficie de la esfera de radio $a$, $V$ el volumen que esta encierra y $\vec n$ el vector normal a la superficie, luego si para la identidad de green se considera que $\phi=\phi(r)$ es el potencial y que $\psi(r)=\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_o|}$, notando además que $|\vec r-\vec r_o|\vec n=a\vec n$.

Luego si resuelves esas integrales, obtienes que la integral de superficie toma un valor de $\dst -\frac{1}{a^2}\oint\phi(r)\dd \vec r^2$ y la integral de volumen $-4\pi\phi(\vec r=\vec r_0)$, finalmente reemplazando esos valores se llega a que:

$$\phi(\vec r=\vec r_0)=\frac{1}{4\pi a^2}\oint_S\phi(r)\dd \vec r^2$$

.

que es lo que te pedían probar. Cualquier duda que tengas pregunta .

[Al2000]

Re: Valor medio del potencial en una esfera.

...
¿Alguien me podría aclarar un poco mas?
...

Déjame intentarlo, a ver si me puedo explicar con claridad.

El trabajo necesario para formar el sistema carga_puntual-cascarón no depende de la historia de como se formó sino sólo de la configuración final. Se hará el mismo trabajo si primero se trae la carga puntual $q$ y luego se construye el cascarón de carga $Q$ en su presencia que si se construye primero el cascarón y luego se trae la carga puntual.

Pero en este segundo el trabajo se puede evaluar con facilidad, pues sabemos que el potencial que produce el cascarón es idéntico al de una carga puntual en puntos exteriores. Por lo tanto conoces el trabajo total para traer a $Q$ y de allí obtienes el valor medio del potencial al dividir entre $Q$.

Nota que estoy excluyendo del análisis el trabajo para formar el cascarón, que será el mismo en ambos casos.

Saludos,

Al