1r ciclo Ejercicio de calcular campo magnético

[skinner]

Buenas. Necesito calcular el campo magnético en el centro de un cuadrado de lado "a" por el que pasa una corriente I en sentido positivo (antihorario). Una ayuda visual:

Sé que la formula que tengo que usar es:

$$B=\frac{I\mu_{0}}{4\pi R}\left( \sin\theta_{2}-\sin\theta_{1} \right)$$

En mi libro dice que los ángulos son: $\theta_{1}=-\pi/4$ y $\theta_{2}=\pi/4$ (datos en radianes)

Pero no consigo ver cuáles son mis ángulos... Sé que el campo total en módulo será 4 veces el campo creado por un sólo lado. ¿Pero cómo consigo los ángulos? Por más vueltas que le doy no consigo verlo... a ver si alguien me edita el dibujo para aclararme.

Mil gracias y un saludito como siempre!

[Al2000]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Con toda sinceridad te digo que no creo que eso sea una buena idea. Es preferible que aprendas a resolver el filamento finito, de manera que tu mismo veas de donde salen esos ángulos, y luego apliques el resultado obtenido para obtener el campo de la espira.

Si buscas la etiqueta "ley de biot-savart" conseguirás varios ejemplos.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Hola Al2000, gracias por responder. ¿A qué te refieres con que no es una buena idea? ¿Qué no es una buena idea? Es que llevo toda la mañana intentando ver cuáles son los áangulos y no los veo, es decir: calculo el campo originado por un lado de la espira en el centro del cuadrado, por lo que los supuestos ángulos son aquellos que forma la recta que pasa por el centro y por cada uno de los extremos, con el propio lado. ¿Pero por qué sale un ángulo negativo?

Gracias y saludos!

[_L_]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Pues se refiere a que lo hagas a pelo con la ley de biot y savar a ver veamos, hare el campo creado por cada lado y lo multiplico por 4 por simetria:
$\dst B= \int dB= 4 \int \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \vec{dl} \times \vec{r}}{r^3}= \int \frac{\mu_0}{ \pi} \frac{Idlr \sin{\theta}}{r^3}=\int \frac{\mu_0}{ \pi} \frac{I dl \sin{\theta}}{r^2}= \frac{\mu_0I}{ \pi} \int \frac{ \sin{\theta} dl}{r^2}$

Bien ahora hago el cambio de theta por alfa que seria el angulo opuesto del triangulo rectangulo. Y se que
$\dst \tan{\alpha}=\frac{l}{\frac{h}{2}}\Rightarrow \frac{h}{2}\tan{\alpha}=l \Rightarrow dl= \frac{h}{2} \frac{1}{\cos{\alpha}^2} d \alpha$

Sustituyo entonces... ten en cuenta que r^2 se puede sustituir por ((h/2)/cos)^2

$\dst B=\frac{\mu_0I}{ \pi} \int \frac{ \cos{\alpha} \frac{h}{2} \frac{1}{\cos{\alpha}^2} d \alpha}{\frac{h^2}{4 \cos{\alpha}^2}}=\frac{\mu_0I}{ \pi} \int \frac{2 \cos{\alpha}}{h} d \alpha=\frac{2 \mu_0I}{ \pi h} \int \cos{\alpha} d \alpha$

Ahora por ser un cuadrado se que los limites de integracion son para alfa que es la variable que tengo -pi/4 hasta pi/4 por cada lado del cuadrado. es decir 45º

$\dst B= \frac{2 \mu_0I}{ \pi h} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos{\alpha} d \alpha = \frac{2 \mu_0I}{ \pi h}(2\sin{\frac{\pi}{4}})= \frac{2 \mu_0I}{ \pi h} \sqrt{2}= \frac{2 \sqrt{2} \mu_0}{ \pi } \frac{I}{h}$

Ahi tienes el campo en el centro de la espira en funcion de la altura y de la intensidad. El sentido ya se lo das tu ^_^

[Al2000]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

...¿A qué te refieres con que no es una buena idea? ¿Qué no es una buena idea?...

Me refería a que simplemente saber cuáles son los ángulos sin saber de donde se originan no es una buena base donde sustentar los conocimientos.

Adicionando lo que ya te respondió _L_ y haciendo referencia al gráfico siguiente, la fórmula por la que preguntaste se origina de esta forma:

$$d \boldsymbol B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi } \frac {d \boldsymbol l \times \boldsymbol R}{R^3} \quad \Rightarrow \quad d B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi } \frac {\mathrm {sen} \, \alpha }{R^2} d l$$

donde $d \boldsymbol B$ tiene la dirección (constante) mostrada en la figura. Hacemos los siguientes cambios para facilitar la integración

$$\alpha = \theta + \frac \pi 2 \quad \Rightarrow \quad \mathrm {sen} \, \alpha = \cos \theta$$

$$R = r \sec \theta$$

$$dl = dz$$

$$z = r \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dz = r \sec ^2 \theta$$

Poniendo todo junto e integrando:

$$B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi r} \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! \cos \theta \,d \theta \quad \Rightarrow \quad \boxed {B = \frac {\mu_0 i}{4 \pi r} (\mathrm {sen} \, \theta_2 - \mathrm {sen} \, \theta_1)}$$

(los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ no aparecen en la figura pero debería ser claro del desarrollo que se trata de los valores de $\theta$ en los extremos inferior y superior de la corriente, respectivamente).

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Gracias a los dos por las respuestas. Sé muy bien de dónde surgen los dos ángulos, pero no consigo ver un ángulo de -45º en mi caso de la espira. Considerando el lado de abajo de dicha espira, veo un ángulo positivo de 45º y otro de 45+90=135º. Pero ninguno de -45º

¿Por qué?

Saludos.

[carmelo]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Hola:

Este hilo te puede ser útil Espira cuadrada

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Gracias, mañana me lo miro y ya os digo. De momento mi duda sigue en el aire.

Un saludo!

[Al2000]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

...
De momento mi duda sigue en el aire.
...

Vuelve a mirar la figura e imagínate que mueves el punto P paralelamente a la corriente. Fíjate como cambian los valores de $\theta_1$ y $\theta_2$. En la medida en que muevas el punto P, tanto $\theta_1$ como $\theta_2$ disminuyen. Cuando el punto P se encuentre a la altura del extremo inferior del conductor (el punto de inicio de la corriente), $\theta_1$ valdrá cero. Si sigues avanzando en dirección de la corriente, $\theta_1$ irá tomando valores cada vez mas negativos. Cuando el punto P se encuentre a la altura del extremo superior del conductor (el punto final de la corriente), $\theta_2$ valdrá cero. Si sigues avanzando, tanto $\theta_1$ como $\theta_2$ serán negativos.

Todo se basa en como se tomó el origen de referencia y como se mide $\theta$. Trata de que los métodos convencionales no se conviertan en gríngolas, al punto de que no entiendas un desarrollo si te cambian el sentido de un eje o la forma de medir un ángulo.

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

YO hice un cambio skiner al angulo alfa respecto del theta, ya que con el alfa es el angulo que va desde el centro hasta el lado si te fijas el angulo que forma esa linea entre los extremos es de 90º. Si haces una cruz en el cuadrado que pase por el centro y luego una x es lo que yo hice los angulos que te salen son de 45º

[skinner]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Gracias a los dos, creo que he conseguido ver algo (tras mucho intentarlo con una regla). Pero ¿qué pasaría si cogiese otros dos ángulos cualesquiera (implicados, por supuesto) y basase en ellos mi desarrollo? Lo digo porque me salen ángulos de 135º, y porque en otra fórmula vi que en lugar de ser sen(teta(2)-teta(1)) es sen(teta(1)+teta(2)) (nótese el signo). ¿A qué se refiere?

Un saludo!

[_L_]

Re: Ejercicio de calcular campo magnético

Pues quizas tendrias que plantear otra ecucacion para dejarlo todo en funcion de una variable y asi integrar. Lo mio tambien lo puedes hacer dessde 45º hasta 0º pero entonces habria que multiplicar por 8