Otras carreras Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

[RevanKnight]

Que tal he indagado en los libros y todos explican solamente el potencial electrico en un punto fuera del cilindro Y no dentro y necesito encontrar el potencial en un punto dentro. ¿Como seria?

[[Beto]]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

La idea sería la siguiente (suponiendo que te refieres a un cilindro con cierta carga superficial): El campo en el interior del cilíndro es nulo (¿por qué?), por tanto el potencial es constante, si es constante será el mismo que en la superficie del cilindro ... es decir como tienes $V=V(r)$, para este caso el potencial será $V=V(R)$, pues el potencial es el mismo en todo el cilíndro.

[RevanKnight]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Mira te paso el problema, una densidad uniforme de carga 50 nC/m^3 es destribuida a traves de una barra cilindrica no conductora radio 5 cm. Determinar la magnitud de la diferencia de potencial entre un punto A (2cm del eje de la barra) y un punto B 4 cm del eje de la barra. la respuesta es 1.7V ambos puntos estarian dentro de la barra cilindrica verdad? entonces la respuesta es 1.7 V.

[[Beto]]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Mira te paso el problema, una densidad uniforme de carga 50 nC/m^3 es destribuida a traves de una barra cilindrica no conductora radio 5 cm. Determinar la magnitud de la diferencia de potencial entre un punto A (2cm del eje de la barra) y un punto B 4 cm del eje de la barra. la respuesta es 1.7V ambos puntos estarian dentro de la barra cilindrica verdad? entonces la respuesta es 1.7 V.

Exacto, entonces en este caso como te dicen que es un no conductor la densidad de carga se distribuye uniformemente en todo el volumen, una forma seria desarrollar las ecuaciones de pisson y laplace, pero para el ejercicio se me haría más sencillo usar la ley de gauss y determinar el campo para cualquier punto interno, considerando una superficie gaussiana de forma cilíndrica arbitraria (obviamente con radio menor al cilindri, pues la idea es determinar el campo para puntos interiores), una vez hecho eso a partir de allí calculas el potencial eléctrico.

[RevanKnight]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Bueno tendría 2 valores de campo en el punto 0.02 y en el punto 0.04 disculpa pero a partir de ahi como encuentro el potencial en cada punto. Se que V=Ed pero que distancia seria la que separa los puntos con el radio del cilindro o la distancia entre ellos o como seria disculpa pero no lo visualizo muy bien.

[[Beto]]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Bueno tendría 2 valores de campo en el punto 0.02 y en el punto 0.04 disculpa pero a partir de ahi como encuentro el potencial en cada punto. Se que V=Ed pero que distancia seria la que separa los puntos con el radio del cilindro o la distancia entre ellos o como seria disculpa pero no lo visualizo muy bien.

No, no, tienes que usar $E=-\nabla V$, para este caso $\nabla V=\dfrac{\dd V}{\dd r}$, solamente tienes que integrar ... la ecuación que pones no es general ...

[RevanKnight]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Jeje que va aun no lo he podido hacer necesito algo aun mas visual para agarrarla.

[Al2000]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Usa el teorema de Gauss para determinar el campo en el interior del cilindro:

$$\Phi_E = \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E \cdot 2 \pi r L = \frac {\rho \cdot \pi r^2 L} {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac \rho {2 \epsilon_0} r$$

(llena tú los huecos, con las apropiadas consideraciones de simetría, elección de la superficie de integración, etc.)

Como el campo es el menos gradiente del potencial, $\boldsymbol E = - \boldsymbol \nabla V$, y en este caso unidimensional la ecuación se reduce a $E = - dV/dr$, tendrás entonces que

$$E = - \frac {dV}{dr} \quad \Rightarrow \quad \int dV = - \int E\,dr \quad \Rightarrow \quad V_{ab} = - \frac \rho {2 \epsilon_0} \int_{r_a}^{r_b}\!\! r\,dr = \frac \rho {2 \epsilon_0} (r_a^2 - r_b^2)$$

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Al2000 te faltó el símbolo de integral en $dV$, a lo último.

[RevanKnight]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Hoy retome el asunto para repasar jeje y se me olvido agregar la ultima vez que en la integral hay un pequeño 2 y es que cada r al final va dividido entre 2. Saludos.

[RevanKnight]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Mira.. ahora estaba explicandole a una amiga un problema parecido y no consigo que me de xD es lo mismo solo que ro = 90 nC/m^3 piden calcular la diferencial de potencial en un punto sobre la superficie osea 0.02 m ya que el radio de este cilindro es 0.02 m y un punto afuera 0.04 m del eje del cilindro. El potencial sobre la superficie lo intente calcular con la misma integral solo que desde 0 hasta 0.02 y la otra desde 0 hasta 0.04 igual usando desde 0.02 hasta 0.04 me da lo mismo pero la respuesta no da. tiene que ser 1.4 V

[Al2000]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

El campo en puntos exteriores no es el mismo que el campo en puntos interiores, tienes que modificar el cálculo. Te pongo aquí las dos ecuaciones relevantes, de nuevo sin los detalles, los cuales te los dejo a ti. Si no entiendes algo, pregunta. Copio y edito:

Usa el teorema de Gauss para determinar el campo en el exterior del cilindro:

$$\Phi_E = \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E \cdot 2 \pi r L = \frac {\rho \cdot \pi R^2 L} {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac {\rho R^2} {2 \epsilon_0 r}$$

(llena tú los huecos, con las apropiadas consideraciones de simetría, elección de la superficie de integración, etc.)

Como el campo es el menos gradiente del potencial, $\boldsymbol E = - \boldsymbol \nabla V$, y en este caso unidimensional la ecuación se reduce a $E = - dV/dr$, tendrás entonces que

$$E = - \frac {dV}{dr} \quad \Rightarrow \quad \int dV = - \int E\,dr \quad \Rightarrow \quad V_{ab} = - \frac {\rho R^2} {2 \epsilon_0} \int_{r_a}^{r_b}\!\! \frac {dr} r = \frac {\rho R^2} {2 \epsilon_0} \ln \frac {r_a}{r_b}$$

En la eventualidad de que tuvieses que calcular la diferencia de potencial entre un punto interior y uno exterior, podrías usar el mismo procedimiento, dividiendo la integral en dos partes, una para el interior y otra para el exterior.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Potencial Electrico en un punto dentro de un cilindro cargado

Hoy retome el asunto para repasar jeje y se me olvido agregar la ultima vez que en la integral hay un pequeño 2 y es que cada r al final va dividido entre 2. Saludos.

Tienes toda la razón. Copio y pego la versión corregida:

...
Como el campo es el menos gradiente del potencial, $\boldsymbol E = - \boldsymbol \nabla V$, y en este caso unidimensional la ecuación se reduce a $E = - dV/dr$, tendrás entonces que

$$E = - \frac {dV}{dr} \quad \Rightarrow \quad \int dV = - \int E\,dr \quad \Rightarrow \quad V_{ab} = - \frac \rho {2 \epsilon_0} \int_{r_a}^{r_b}\!\! r\,dr = \frac \rho {4 \epsilon_0} (r_a^2 - r_b^2)$$

Saludos,

Al