Otras carreras Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

[SuperJMN]

Hola amigos.

Suponía que sabía hacer este tipo de ejercicio, pero he intentado éste y no sé cómo resolverlo. ¿Cómo dejo el flujo en función del tiempo? El B depende de la posición, pero a su vez, la posición varía en función del tiempo. Aquí está el problema y mi desarrollo (en la hoja de papel).




Aquí está mi intento de resolución.



¡Gracias por adelantado!

[[Beto]]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

hola, primero tienes que notar que tienes algo mal, y es que en la integral hay un producto punto, luego ya no aparece ese $\vec u_x$, entonces lo que tendrías sería lo siguiente:

$$\Phi=\int B_o\cos\left(\frac{2\pi y}{\ell}\right)\ell\dd y$$

Luego la integral depende de $y$ y se integra respeto a $y$ ... entonces con eso ya está resuelto ¿no?

[Al2000]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

...
Suponía que sabía hacer este tipo de ejercicio, pero he intentado éste y no sé cómo resolverlo. ¿Cómo dejo el flujo en función del tiempo? El B depende de la posición, pero a su vez, la posición varía en función del tiempo. Aquí está el problema y mi desarrollo (en la hoja de papel).
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No le tengas miedo, persevera que vas bien. Con la corrección que te indicó [Beto], resuelve la integral en función de $y$, que es sencilla, y luego sustituye $y = y_0 + v t$. Estás listo para derivar respecto al tiempo.

Fíjate que para la solución de este problema el límite inferior no es la posición en el instante inicial, sino la posición del extremo izquierdo de la espira en un instante cualquiera. En este caso sería preferible llamar $y$ la posición del extremo izquierdo y resolver la integral usando una variable auxiliar, llámese $\psi$ o $y'$ o como te plazca, y hallar el flujo que corresponde a la coordenada $y$ del extremo izquierdo de la espira. Luego pondrás esa coordenada como función del tiempo. La cosa iría algo así:

$$\Phi_B = \int_S \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{y}^{y+\ell /2}\!\! \left[B_0 \cos \left(\frac {2 \pi} \ell \psi \right)\,\boldsymbol u_x \right] \boldsymbol \cdot (\ell \,d \psi \,\boldsymbol u_x)$$

Resuelve la integral y luego pon $y = y_0 + v t$ antes aplicar la ley de Faraday.

Recuerda, estás calculando el flujo con la espira congelada en el tiempo. Necesitas dos variables que te indiquen la posición en el eje Y tanto de la espira como del diferencial de área. Por eso surge la necesidad de introducir una "segunda $y$"

Saludos,

Al

PD. Un comentario al margen de la solución del problema. Muchas veces uno se mal acostumbra a usar la misma variable jugando dos roles diferentes dentro de una integral. No es raro que yo haga eso, y veo que lo hice en el problema que preguntaste antes. Probablemente si hubiese estado resolviendo este problema para mi, hubiese escrito que el flujo es

$$\Phi_B = \int \left[B_0 \cos \left(\frac {2 \pi} \ell y \right)\,\boldsymbol u_x \right] \boldsymbol \cdot (\ell \,d y \,\boldsymbol u_x)$$

y entonces hubiese integrado desde el lado izquierdo $y$ hasta el lado derecho $y + \ell /2$, poniendo a la variable $y$ a jugar el doble papel de coordenada de la espira y coordenada del diferencial de área.

Desde el punto de vista de la solución de la integral, no hay error alguno, puesto que siendo una integral definida, la variable de integración es muda, es decir, no aparece en el resultado final. Sin embargo, desde el punto de vista del planteamiento del problema es un error pues la posición de la espira y la del diferencial de área son valores diferentes.

La misma economía de variables la usa uno de forma mas o menos frecuente cuando resuelve problemas como por ejemplo, hallar la velocidad de un móvil que se mueve con aceleración constante:

$$dv = a\,dt \quad \Rightarrow \quad \int_{v_0}^{v}\!\! dv = a \int_{0}^{t}\!\! dt \quad \Rightarrow \quad v = v_0 + a t$$

En casos como estos hay tan poca posibilidad de confusión que probablemente no se justifica introducir otra variable, pero en cálculos como por ejemplo el del potencial de una distribución de cargas, necesitas dos variables para identificar el punto donde estás calculando el valor, y la variable que recorre la distribución.

Bueno, dejemos esto hasta aquí...

PD2. Hay un error, probablemente de imprenta, en la respuesta al inciso a), debería decir $\dst \Phi_m = - \frac {B_0 l^2} \pi \, \mathrm {sen} \, \left(\frac {2 \pi v} l t\right)$.

[SuperJMN]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

¡Hola amigos!

He estado dándole vueltas al problema con vuestras ayudas y después de hacer operaciones, no he visto la manera de hacer que se parezca mi solución a la que viene dada

Trato a toda costa de resolver el apartado a) (flujo que atraviesa la espira en función del tiempo), porque el siguiente apartado depende de él.

Lo primero, dar las gracias a Beto por corregirme en el producto escalar. Como ves, no me manejo del todo bien en el aparato matemático y a día de hoy me confundo todavía.

Segundo, aquí está lo que he conseguido al respecto del apartado a) bajo las siguientes hipótesis:

• La espira, en un instante $t$, tiene su borde izquierdo en la posición $y$
• Su borde derecho está en $y+\frac{\ell}{2}$
• $\mathrm{d}\vec{s}=\mathrm{d}\Psi \ell \vec{u_x}$
• $\Psi$ es la coordenada $y$ del diferencial de superfice $\mathrm{d}\vec{s}$

Ahora bien, resuelvo la integral propuesta por Al2000:

$\dst \Phi_B = \int_S \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{y}^{y+\ell /2}\!\! \left[B_0 \cos \left(\frac {2 \pi} \ell \psi \right)\,\boldsymbol u_x \right] \boldsymbol \cdot (\ell \,d \psi \,\boldsymbol u_x)$

Y me sale que $\Phi_B$ es:
$\dst \Phi_B=\frac{B_0\ell^2}{2\pi}\left [ sin(\frac{2\pi y}{\ell}+\pi)-sin(\frac{2\pi y}{\ell})\right ]$

Ahora bien, ¿responde eso al problema? Si es así ¿cómo dejo eso bonito? La resta del sen(A)-sen(B) se parece mucho, tanto que solamente se diferencia en $\pi$. El enunciado tiene una NOTA avisando que $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

Una vez resuelto eso, ya podría sustituir $y=y_0+vt$, ¿verdad? Así podría calcular la fem inducida para b) Pero no puedo porque el a) me tiene loco.

Oh Dios... ¡tengo tanto que aprender!

[[Beto]]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

Ahora bien, ¿responde eso al problema? Si es así ¿cómo dejo eso bonito? La resta del sen(A)-sen(B) se parece mucho, tanto que solamente se diferencia en $\pi$. El enunciado tiene una NOTA avisando que $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

Eso está bien, hace falta que simplifiques usando esa identidad que mencionas.

Una vez resuelto eso, ya podría sustituir $y=y_0+vt$, ¿verdad? Así podría calcular la fem inducida para b) Pero no puedo porque el a) me tiene loco.

Si, pero piensa en esto ¿cuánto vale $y_0$?

[SuperJMN]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

Pufff, no tengo ni idea de cómo transformar eso. No está en la forma de sin(a+b), sino en sin(a)-sin(b).

Mirando y remirando, he visto $sin(a+\pi)=-sin(a)$, pero aun trabajando con ese supuesto, el flujo de la solución no queda igual que el mío. A mí me quedaría:

$\dst \Phi= \frac{B_0 \ell^2}{\pi} sin(\frac{2\pi vt}{l})$, sin embargo, en la solución, $\ell$ no va elevado al cuadrado

[[Beto]]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

Pufff, no tengo ni idea de cómo transformar eso. No está en la forma de sin(a+b), sino en sin(a)-sin(b).

Si está en esa forma $a=\dfrac{2\pi y}{\ell}$ y $b=\pi$ ...

[SuperJMN]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

Beto, ¡buena pista! No obstante, sin llegar a usar la NOTA, he llegado a que mi solución es:
$\dst \Phi= \frac{B_0 \ell^2}{\pi} sin(\frac{2\pi vt}{l})$

Como verás, la $\ell$ va elevada al cuadrado, mientras en la solución dada al apartado a) va elevada a 1. Esto es porque al integrar $\int{cos(\frac{2\pi\Psi}{\ell})\mathrm{d}\Psi}$, da como resultado $\frac{l}{2\pi} sin(\frac{2\pi\Psi}{\ell})$, que multiplicado con $B_0\ell$ que salen fuera de la integral al ser constantes, se transforma en $\frac{B_0\ell^2}{2\pi} sin(\frac{2\pi\Psi}{\ell})$ donde $\Psi=vt$

¿Puede que la solución dada esté mal y sea al cuadrado?
Muchas gracias.

[[Beto]]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

Claro, tiene que ir elevado al cuadrado, si nono habría correspondencia con las unidades de flujo magnético.

[SuperJMN]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

¿Entonces, finalmente mi solución está bien y la que viene está mal?

[[Beto]]

Re: Problema con espira y campo magnético variable (dejar en función del tiempo)

¿Entonces, finalmente mi solución está bien y la que viene está mal?

Si problamente fue un error tipográfico, recuerda que al llegar a una solución al final compara las unidades de ambos lados dela igualdad para verificar si por lo menos dimensionalmente la expresión es consistente.