Otras carreras Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

[SuperJMN]

¡Hola amigos! Este fin de semana ha sido muy productivo gracias a vuestra ayuda.

Hoy me he topado con un ejercicio del que tengo dudas. Es el siguiente:



Estoy haciendo el apartado a)

Lo primero que he tratado de hacer es calcular el flujo. Me ha salido que el flujo será:
$\dst \Phi=\int_S\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{s}=\int_S B\;\mathrm{d}s\;cos(\theta) = B\;cos(\theta)\int_X^{X-(v_0+vt)}\mathrm{d}xL = BL\;cos(\theta)\left |x \right |_X^{X-(v_0+vt)}$

Por tanto:
$\dst \Phi=BL\;cos(\theta)(-v_0-vt)$

Con el flujo, tenía pensando sacar la fem inducida, y con ella la I que atraviesa la barra. A partir de la intensidad, saco la F magnética con $\vec{F} =i(\vec{\ell} \times \vec{B} )$

¿Voy bien?

Editado: había cometido un error.

• Llamemos L a la longitud de la barra.
• Determiné que $dS=dx\;L$ y en la integral de arriba me faltaba multiplicar por L y el difrencial es dx, no ds

[Al2000]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

Fíjate que $ds$ es un elemento de área, luego los límites de la integral no pueden ser distancias. Tienes dos posibles formas de hacerlo:

1.- Haz la integral doble $\dst \int_{0}^{L} \int_{x_0}^{x}\!\! dx\,dy$

2.- Toma una banda a todo lo ancho $L$ del área y de grosor $dx$ y resuelve $\dst \int ds = \int_{x_0}^{x}\!\! L\,dx$

Cuando tengas el flujo en función de $x$ entonces podrás derivar para hallar la fem inducida.

En tu planteamiento cometes el error de poner que la distancia recorrida por la varilla es $v_0 + v t$, que no tengo ni idea de donde la sacaste. Estás sumando a una velocidad ($v_0$) y una distancia ($v t$).

Es bueno que entiendas lo que sucede para que puedas resolver el problema con conciencia de lo que estás haciendo. Imagínate que estás en el laboratorio haciendo el experimento. Sueltas la varilla y la dejas que deslice hacia abajo del plano inclinado. Si no hubiese campo magnético, o no hubiese un camino cerrado para el establecimiento de una corriente en la varilla, lo que tendrías sería el problema de siempre en el cual un cuerpo desliza hacia abajo por un plano inclinado gracias a la acción de la gravedad. Pero en esta versión del movimiento del cuerpo sucede que al moverse la varilla aparece una fem inducida que produce una corriente. La ley de Lenz nos aclara que la corriente inducida siempre se opone a la causa que la produce. Ocurrirá que sobre la varilla, por la cual ahora circula una corriente, aparece una fuerza magnética en sentido tal que se opone a que la varilla baje. La magnitud de esta fuerza depende de la magnitud de la fem inducida, la cual a su vez depende de la velocidad de la varilla. Tienes entonces el tipo de movimiento similar al de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido. La fuerza que se opone al movimiento aumenta en la medida que aumenta la velocidad. Eventualmente se alcanza un equilibrio en el cual la fuerza resistente (en este caso la fuerza magnética) equilibra la fuerza impulsora (en este caso la fuerza gravitacional) y la varilla se sigue moviendo can velocidad constante (la velocidad terminal).

Saludos,

Al

PD. Regresa a lo básico y no mates un pajarito con un cañón:

- Flujo de un campo uniforme $V$ perpendicular a una superficie plana $A$ : $\Phi_V = V A$

- Flujo de un campo uniforme $V$ a través de una superficie plana $A$: $\Phi_V = \boldsymbol V \boldsymbol \cdot \boldsymbol A$

- Flujo de un campo $V$ a través de una superficie $A$: $\dst \Phi_V = \int_A \boldsymbol V \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S$

En este caso tu superficie es plana y tu campo uniforme. Puedes decir inmediatamente que $\Phi_B = B A \cos \theta = B L x \cos \theta$, llamando $x$ la longitud del lado variable.

[SuperJMN]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

Amigo Al2000, muchas gracias por tu respuesta. Con las prisas y debido a que no control LaTeX con fluidez, había cometido algunos errores de redacción y alguna omisión. Evité hacer una integral doble (entre otras cosas porque ¡no sé!) y dejé el ds en función de dx*L. He editado el mensaje modificando la ecuación del flujo y añadiendo las siguientes aclaraciones:

• Llamemos L a la longitud de la barra.
• Determiné que $dS=dx\;L$ y en la integral de arriba me faltaba multiplicar por L y el difrencial es dx, no ds

Creo que ahora si derivo el flujo respecto al tiempo, me debería salir al fem inducida correctamente. ¿Es así?
¡Gracias !

[SuperJMN]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

Lo de poner los límites de la integral, llevas razón, ¡es un error de razonamiento! Debí congelar el conductor y evaluar cuál sería la superficie. Evidentemente, la superficie depende de x y de L.

[SuperJMN]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

He progresado en el problema y he sacado que la fuerza que se opone al avance (apartado a). Es:
$\dst \mathbf{F_m}=i(\mathbf{l}\times \boldsymbol{B})=\frac{B Lv\;cos(\theta)}{R}(\mathbf{L}\times \mathbf{B})$

Y deduzco lo siguiente:
que L solamente tiene componente en z
que B solamente tiene componente en y

Por lo que el producto vectorial solamente tendrá componente en x.

¡Ahora solamente me falta una pequeña cosa!
Mi $Fm$ sería:
$\dst \mathbf{F_m}=\frac{B^2 L^2v\;cos(\theta)}{R}\mathbf{u_x}$

Pero en la solución, el $cos(\theta)$ va al cuadrado. En el enuciado habla de que la F buscada es paralela a los raíles, pero la que he obtenido es paralela al eje x. ¿Está ahí la clave?

[Al2000]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

Estás usando el eje X con dos orientaciones diferentes. Cuando calculas el flujo estás poniendo el eje X en dirección paralela a la superficie inclinada y ahora estás poniendo el eje X paralelo a la superficie horizontal. Si mantienes la orientación inicial, de modo que $x$ es el lado de la espira de longitud variable, entonces el campo magnético tiene componentes tanto en X como en Y y lo mismo la fuerza magnética. Si usas ahora un nuevo sistema de referencia con el eje X horizontal, entonces la fuerza retardadora es la componente de $F_m$ paralela a la superficie inclinada, es decir $F_m \cos \theta$. La aplicación de la segunda ley de Newton a las fuerzas paralelas a la superficie inclinada te llevará a que $F_m \cos \theta - m g \, \mathrm {sen} \, \theta = m a$. Una vez que tengas la aceleración, puedes obtener la ecuación de movimiento y de allí la velocidad terminal.

Para hallar la velocidad terminal no hace falta resolver la ecuación de movimiento, pero como ejercicio es bueno que lo hagas. Obtendrás para la velocidad una exponencial decreciente en el tiempo que tiende asintóticamente al valor que te indican en el enunciado.

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Barra conductora deslizándose por plano inclinado y afectada por un campo magnético

¡Resuelto completamente! Madre mía, qué buenos sois aquí. ¡Voy a hacer más!