Otras carreras particula en campo magnetico

[el_gabi]

Hola, a ver si me tiran alguna mano, se me ocurrio descomponer la velocidad en los tres ejes de alli estudiar por separado que pasa con la fuerza magnetica en cada eje, planteo la fuerza como vector (separado por ejes) haciendo cuentas llego a la velocidad lo cual me da una constante (q depende de la carga el campo el seno del angulo entre la velocidad y el campo y la masa de la particula) multiplicada por un vector q describiria una cfa en el plano z=1...
Como ven ando un poco perdido creo q muchas cuentas para pocos resultados, si alguien se le ocurre otro camino tiren q intentare hacerlo
Gracias saludos

[neometalero]

Re: particula en campo magnetico

Debes usar la fuerza de Lorentz para el apartado b, y obtendrás las expresiones respectivas del período y del radio. Para el apartado a ahora mismo no se me ocurre, sé por teoría, que si penetra perpendicularmente su trayectoria es circular y si el ángulo es menor de 90 y mayor de 0 es una hélice, pero de ahi a demostrarlo matemáticamente...imagino que deberás escribir la ecuación de la trayectoria y compararla con la general de una hélice que, sinceramente, no se cual es.

[Al2000]

Re: particula en campo magnetico

Si la idea es demostrar por el método de fuerza bruta que la trayectoria de la partícula es una hélice, se podría demostrar haciendo lo siguiente:

- Elegir, sin pérdida de generalidad, que el campo magnético está en la dirección de uno de los ejes coordenados. Digamos, por ejemplo, que $\boldsymbol B = B\, \boldsymbol k$.

- Determinar la fuerza magnética sobre la partícula que se mueve con velocidad $\boldsymbol v = v_x\, \boldsymbol i + v_y\, \boldsymbol j + v_z\, \boldsymbol k$: $\boldsymbol F = q v_y B\, \boldsymbol i - q v_x B\, \boldsymbol j$.

- Escribir las ecuaciones de movimiento: $\dst <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> m \frac {d v_x}{dt} &= q v_y B \\<br /> m \frac {d v_y}{dt} &= -q v_x B \\<br /> m \frac {d v_z}{dt} &= 0 <br /> \end{aligned}\right .<br />$

- Resolver para hallar las coordenadas en función del tiempo.

La ausencia de $v_z$ en las dos primeras ecuaciones implica que será constante y por integración se obtiene inmediatamente la coordenada $z_{(t)}$, que varía linealmente en el tiempo. Las dos primeras ecuaciones se pueden resolver derivando una con respecto al tiempo y sustituyendo la otra. Por ejemplo, si se deriva la primera ecuación respecto al tiempo se obtiene

$\dst m \frac {d^2 v_x}{dt^2} = q B \frac {d v_y}{dt}$

y se puede entonces usar la segunda ecuación para eliminar $d v_y/dt$:

$\dst m \frac {d^2 v_x}{dt^2} = - \frac {q^2 B^2} m v_x \quad \Rightarrow \quad \frac {d^2 v_x}{dt^2} + \left(\frac {q B} m\right)^2 v_x = 0$

La ecuación obtenida es la clásica ecuación de un MAS con frecuencia angular $\omega = q B/m$. De nuevo, sin perder generalidad, se puede expresar la solución como

$\dst v_x = v \cos \omega t$

lo que es equivalente a seleccionar el eje X en la dirección (perpendicular a $\boldsymbol B$) inicial de la partícula. Una vez obtenida $v_x$ se puede obtener $v_y$ derivando respecto de $t$ y sustituyendo en la primera ecuación. Las coordenadas $x_{(t)}$ y $y_{(t)}$ se obtienen entonces integrando. Restaría sólo la manipulación de las expresiones resultantes para demostrar que $x^2 + y^2 = \mathrm{ctte} = R^2$, para concluir que se obtiene una hélice.

Saludos,

Al