1r ciclo Hilos muy largos que crean campos magnéticos

[Vipoke]

¿Como se obtiene la expresión para calcular el vector $\vec{B}$?
No acabo de entender eso de la integral de todos los campos elementales...

Por otro lado: ¿De donde surge el valor de ${\mu }_{0}$?

Gracias

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Re: Hilos muy largos que crean campos magnéticos

Hola Vipoke,

¿Te refieres al campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida?
Si es así lo puedes hacer de varias maneras, no sé cómo te lo habrán enseñado, pero parece ser que mediante el uso de integrales para ''sumar todos los campos elementales'' como dices tú.

Te expongo aquí, a grosso modo, cómo sería la demostración de la expresión a partir de la ley de Biot-Savart. Pues bien, como sabes, ésta dice viene a decir que la inducción magnética producida por un elemento de corriente estacionaria en un puntodel espacio, es un vector perpendicular al plano determinado por el elemento de corriente yel punto; de sentido el de giro de un sacacorchos que avanza con la corriente. Si lo expresas matemáticamente sería:

$d\vec B=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\dst\frac{Id\vec l\times \vec r}{r^3}$

Aunque bueno, también la puedes ver escrita de este modo:

$d\vec B=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\dst\frac{Id\vec l\times \vec u_r}{r^2}$

Donde $\vec u_r$ es un vector unitario, en la dirección de la recta que une el elemento de corriente y el punto considerado. Mientras que en la primera expresión $\vec r$ es el vector de posición de P referido al elemento de corriente. De todos modos esto da igual porque el módulo sería:

$dB=\dst\frac{\mu_0}{4\pi}\dst\frac{Idl\sin\theta }{r^2}$

Pero bueno, para el caso da lo mismo. Así pues, si desearamos calcular el campo total producido por una corriente cualquiera, tendríamos que sumar o integrar las contribuciones de cada elemento de corriente a lo largo de todo el circuito, es decir:

$B=\dst\int \dst\frac{\mu_0}{4\pi}\dst\frac{Idl\sin\theta }{r^2}=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi}\dst\int\dst\frac{dl\sin\theta }{r^2}$

Para la expresión del campo magnético producido por un conductor rectilíneo indefinido, podemos en efecto aplicar esta ley. Si consideramos un elemento del hilo conductor $dl$ , el vector $d\vec B$ que le corresponde es un vector perpendicular a $dl$ y a $r$, por tanto perpendicular al plano hacia afuera. Si hacemos lo mismo para cualquier otro punto obtendremos el mismo resultado y el módulo de la inducción magnética (o el campo magnético) total será la suma, o integral, de todas las inducciones magnéticas $dB$ creadas por cada elemento, lo mismo que hemos hecho antes para Biot-Savart. Mira, te pongo una imagen para que sigas el razonamiento (la he hecho rápido y es muy esquemática, así que no esperes gran cosa, en algún libro que tengas me imagino que te vendrá alguna parecida mucho mejor)



Pues bien, como puedes ver en la imagen:

$r=\dst\frac{z}{\cos\theta},\quad \varphi=\theta+\dst\frac{\pi}{2}\Rightarrow \sin\varphi=\cos\theta, \quad l=z\tan\theta\Rightarrow dl=\dst\frac{z}{cos^2{\theta}}d\theta$

Por si tienes alguna duda en el último paso simplemente he derivado y claro está $z$ es una constante. Pues ahora puedes sustituir en la expresión de la Ley de Biot-Savart, quedándote:

$dB=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi z}\cos\theta d\theta$

Y ahora, integrando para los límites $\theta=-\dst\frac{\pi}{2}$ y $\theta=\dst\frac{\pi}{2}$, abarcamos todo el conductor rectilíneo indefinido,
obteniéndose:

$B=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi z}\dst\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta d\theta=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi z}\left[\sin\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\dst\frac{\mu_0 I}{4\pi z}2$

Simplificando llegamos a la expresión que queríamos desde un principio:

$\boxed{B=\dst\frac{\mu_0 I}{2\pi z}}$

Por otra parte, la permeabilidad magnética, el valor me imagino que te refieres, se obtiene experimentalmente, supongo. Simplemente es una constante deproporcionalidad, que se escribe así por convenio, pero no estoy muy seguro de ésto.

Consecuentemente, a la magnitud $mu:0$ se le llama permeabilidad magnética, y bueno, su ecuación de dimensiones sería:

$[\mu_0]=\dst\frac{[F]}{[I]^2}=MLT^{-2}A^{-2}$

La A de amperio, unidad elegida por convenio, ésta tiene su historia, como medida de la intensidad. Según la bibliografía el valor de la permeabilidad magnética se midió con gran exactitud por Curtis en el National Bureau of Standars Washington, pero poco más sé. Y bueno, ya sabes que a partir de esta se obtiene la permeabilidad de otros medios multiplicándola por un número llamado permeabilidad relativa al vacío.

Espero ayudarte.

Saludos,

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Re: Hilos muy largos que crean campos magnéticos

Se me olvidaba decirte que el método que te he puesto en el anterior post es uno muy general para obtener la intensidad del campo magnético en numerosas situaciones, pero en este caso también podrías hacer uso de la expresión de la fuerza magnética ejercida entre dos conductores rectilíneos muy largos para llegar a la expresión de la intensidad del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido en un punto P.

Recuerda que si tienes dos conductores rectilíneos e indefinidos, la fuerza magnética que la corriente 1 ejerce sobre la corriente 2 viene dada por:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y bueno, esta fuerza no es otra que la debida a la acción del campo magnético creado por la corriente 1 sobre la corriente 2. Fíjate qué facilita queda la cosa, teniendo en cuenta que la fuerza también se puede expresar del siguiente modo:

$\vec F_{21}=I_2\vec l\times \vec B_1$

Y dado que ambos vectores son perpendiculares, el módulo de la fuerza será:

$F_{21}=I_2lB_1\sin 90=I_2l B_1$

Como corresponden ambas expresiones a lo mismo, pues puedes igualar:

$\dst\frac{\mu_0}{2\pi}\dst\frac{I_1I_2l}{d}=I_2lB_1$

Y ya te lo decía, que queda mucho más fácil que todo lo del anterior post, pues puedes despejar tranquilamente el valor que tiene el campo producido por la corriente rectilínea e indefinida:

$B=\dst\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$

Y si te fijas es exactamente igual a la que hemos llegado antes, en vez de z es d, pero da igual eso, por lo que el campo producido por una corriente rectilínea e indefinida en un punto exterior P es:

$\vec B=\dst\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\vec u_t$

$u_t$ representa al vector unitario, cuya dirección es tangencial en el plano perpendicular de la corriente.

Saludos,

[Al2000]

Re: Hilos muy largos que crean campos magnéticos

...
Por otra parte, la permeabilidad magnética, el valor me imagino que te refieres, se obtiene experimentalmente, supongo. Simplemente es una constante deproporcionalidad, que se escribe así por convenio, pero no estoy muy seguro de ésto.
...

Tomado de la página del NIST (el resaltado en negrillas es mío):

[FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]Unit of electric current (ampere)[/FONT] [FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]Abbreviations: CGPM, CIPM, BIPM[/FONT]
[FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]Electric units, called "international," for current and resistance were introduced by the International Electrical Congress held in Chicago in 1893, and the definitions of the "international" ampere and the "international" ohm were confirmed by the International Conference of London in 1908. [/FONT]

[FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]Although it was already obvious on the occasion of the 8th CGPM (1933) that there was a unanimous desire to replace those "international" units by so-called "absolute" units, the official decision to abolish them was only taken by the 9th CGPM (1948), which adopted the ampere for the unit of electric current, following a definition proposed by the CIPM in 1946: [/FONT]

• [FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]The ampere is that constant current which, if maintained in two straight parallel conductors of infinite length, of negligible circular cross section, and placed 1 meter apart in vacuum, would produce between these conductors a force equal to 2 x 10-7 newton per meter of length.[/FONT]

[FONT=Myriad Roman,Syntax,Gill,Gill Sans,Arial,Helvetica]The expression "MKS unit of force" which occurs in the original text has been replaced here by "newton," the name adopted for this unit by the 9th CGPM (1948). Note that the effect of this definition is to fix the magnetic constant (permeability of vacuum) at exactly 4 x 10-7 H · m-1.[/FONT]

Saludos,

Al

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Re: Hilos muy largos que crean campos magnéticos

Siempre es un placer leer tus aportaciones, ¡la de cosas que se aprenden!

Gracias,