Otras carreras Momento magnético e Imanación

[Frustratedstudent]

Hola muy buenas, soy un estudiante de Ingeniería y tengo una duda con este ejercicio.

¿Alguien sería tan amable de resolverlo?


Gracias


Ejercicio:

La aguja de una brújula magnética puede considerarse como una barra delgada cilíndrica de longitud L, radio r y densidad \rho . La aguja puede girar en un plano horizontal, donde la componente horizontal del campo magnético terrestre es B. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, la aguja efectúa un movimiento armónico simple alrededor de su punto medio con una frecuencia f . Calcular el momento magnético \mu y la imanación M de la aguja.

[Al2000]

Re: Momento magnético e Imanación

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La aguja de una brújula magnética puede considerarse como una barra delgada cilíndrica de longitud L, radio r y densidad \rho . La aguja puede girar en un plano horizontal, donde la componente horizontal del campo magnético terrestre es B. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, la aguja efectúa un movimiento armónico simple alrededor de su punto medio con una frecuencia f . Calcular el momento magnético \mu y la imanación M de la aguja.

En un dipolo magnético en un campo magnético externo, aparece un torque

$$\boldsymbol \tau = \boldsymbol \mu \times \boldsymbol B$$

donde estoy llamando $\boldsymbol \mu$ al momento dipolar magnético del dipolo. Para pequeñas oscilaciones en el plano horizontal, el torque es vertical y su magnitud vale

$$\tau = \mu B \, \mathrm {sen} \, \theta \approx \mu B \theta$$

siendo $\theta$ el ángulo entre el dipolo y el campo. La ecuación de movimiento de la aguja queda

$$I \frac {d^2 \theta }{dt^2} = - \mu B \theta$$

donde el signo menos proviene del hecho de que el torque es restaurador, es decir, actúa de forma tal que su efecto es disminuir el ángulo entre el dipolo y el campo. $I = \frac 1 {12} m L^2$ es el momento de inercia de la aguja respecto del eje de giro que pasa por su centro. La ecuación (3) es la conocida ecuación de un movimiento armónico simple

$$\frac {d^2 \theta }{dt^2} + \frac {\mu B} I \theta = 0$$

que se sabe corresponde a una oscilación de frecuencia angular

$$\omega = 2 \pi f = \sqrt {\frac {\mu B} I}$$

Bueno, ya sería sólo cuestión de despejar $\mu$ y sustituir valores.

Respecto a la magnetización, no estoy 100% seguro, pero creo que puede obtenerse considerando que es constante en toda la aguja y que es igual al momento magnético por unidad de volumen:

$$M = \frac \mu V$$

Saludos,

Al