1r ciclo Densidad de carga a partir del campo!

[Carlangas]

Buenas,
tengo un problema que no se resolver!
Se trata de encontrar la densidad volumétrica de carga a partir del campo.

El campo viene dado por

r $leqslant [U]a [/U]$
$\frac{k}{\varepsilon} *(r-\frac{r^2}{a})$.
donde k es una constante en $\frac{C}{m^3}$ y a constante en m.
r>a
0.


El campo posee simetria radial y también, pues, la densidad de carga
Se tiene que hallar la densidad de carga y comprovar, integrando, que la carga dentro de un volumen de radio a es 0.
¿Como lo hago? Uso distintos métodos y llego a resultados contradictorios!
Os agradeceria que me ayudarais!
Gracias de antemano.

[arreldepi]

Re: Densidad de carga a partir del campo!

Hola, prueba usando el teorema de Gauss en forma local:

$$\vec\nabla\cdot\vec E = \rho/\epsilon_0$$

Saludos!

[Carlangas]

Re: Densidad de carga a partir del campo!

Gracias! Pero ya lo había intentado y...
Por simetria radial es derivar el campo en funcion de r y aislar la densidad volumétria de carga, no?
De manera que, simplificando la permitividad tengo:
$\rho (r)=k(1-\frac{2r}{a})$
Y ahora se me pide demostrar que para un radio de a ,a carga total es nula.
Entonces tengo de integrar de 0 hasta a $\rho (r)dV$ no? donde $dV=4 \pi r^2$... y eso no me da 0!

En cambio si hago la integral de $\rho (r)dr$ de 0 hasta a si que me da 0..
El significado de $\rho$ es la densidad volumetrica de carga no? Es decir Q/V para un r dado.
Donde está el error?

[arreldepi]

Re: Densidad de carga a partir del campo!

El error lo tienes en el resultado que te da $\rho(r)$, usando la divergencia en esféricas y sabiendo que tenemos simetría radial:

$$\vec\nabla\cdot\vec E = \frac{1}{r^2}\frac{\dd }{\dd r}\left(r^2 E_r(r)\right) = \frac k\epsilon \left[3-\frac{4r}{a}\right]$$

con lo cual

$$\rho(r)=\frac 1\epsilon \left[3-\frac{4r}{a}\right]$$

Ahora si haces

$$Q=\int\limits_0^a \rho(r)\cdot 4\pi r^2\dd r$$

te dará cero.

Saludos!

[Carlangas]

Re: Densidad de carga a partir del campo!

Gracias! Muchas gracias!