1r ciclo [VI]Uno de electromagnetismo. Fuerza sobre un dipolo

[skinner]

Buenas. El tipler ha calificado el problema siguiente con el sistema de tres estrellas, es decir: "avanzado, para alumnos avanzados". El enunciado:

"Un dipolo $\vec{p}$ está localizado a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga con una densidad de carga lineal y uniforme. Suponer que el dipolo está alineado con el campo producido por la carga lineal. Determinar la fuerza que actúa sobre el dipolo."

Mi razonamiento:

La carga lineal infinitamente larga, que tiene su eje de revolución en el eje OY, crea un campo eléctrico que adopta la siguiente expresión:

$$\vec{E}=\frac{\lambda}{2\pi r\epsilon _0}\hat{i}$$

La carga negativa estará más cerca de la carga lineal que la positiva debido al movimiento natural de las cargas en un campo eléctrico.

La distancia que separa las cargas viene dado por \vec{L} (vector que nace en la carga negativa y termina en la positiva) de forma que las distancias desde el origen a cada carga son:

$$\vec{r_e}=\vec{r}-0.5\vec{L}$$

$$\vec{r_p}=\vec{r}+0.5\vec{L}$$

(tomamos que \vec{r} es la distancia desde el origen hasta la mitad de la distancia entre las cargas)

La carga lineal ejerce fuerzas diferentes sobre cada carga, tanto en módulo como en sentido. Por tanto la fuerza será:

$$\vec{F}=\vec{F_{e}}+\vec{F_{p}}=\frac{-q\lambda}{2\pi \epsilon_{0} ||\vec{r}-0.5\vec{L}||}\hat{i} +\frac{q\lambda}{2\pi \epsilon_{0} ||\vec{r}+0.5\vec{L}||}\hat{i}$$

Pero:

$$\vec{p}=q\vec{L} \Rightarrow\vec{L}=\frac{\vec{p}}{q}$$

Y entonces, sustituyendo en (4):

$$\boxed{\vec{F}=\left( -\frac{\lambda}{\pi\epsilon_{0} ||2q\vec{r}-\vec{p}||}+\frac{\lambda}{\pi\epsilon_{0}||2q\vec{r}+\vec{p}||} \right)\hat{i}}$$

¿Está bien resuelto? Y una duda matemática asociada a esta ecuación: si hago denominador común, ¿puedo usar la identidad notable de la suma por diferencia para elevar ambos vectores al cuadrado, resultando así sus componentes? Es decir, puedo hacer lo siguiente?:

$$||q\vec{r}-\vec{p}||\cdot ||q\vec{r}+\vec{p}||=||q^2\vec{r}\cdot \vec{r}-\vec{p}\cdot\vec{p}||$$

Segurante haya escrito una incongruencia matemática como una casa de grande, pero necesito resolver mis dudas.

Muchas gracias por su atención.

Saludos compañeros.

[Al2000]

Re: [VI]Uno de electromagnetismo. Fuerza sobre un dipolo

Unas observaciones:

- Si ya dijiste que el campo apunta según +X y el dipolo está alineado con el campo, es inútil tratar a $\vec r$ y $\vec L$ como vectores. Puedes trabajar perfectamente con sus magnitudes.

- La respuesta no debe quedar en función de $q$, se supone que lo que conoces es $\vec p$.

- Si, si puedes hacer la operación que preguntas: $(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a - \vec b \cdot \vec b = a^2 - b^2$

Saludos,

Al

PD. Te comiste el $q^2$ en el numerador. No te recomiendo que hagas lo que estás intentando. Sería mejor que trabajes con $r$ y $L$, y aproximes las fracciones $\dst \frac 1 {1 \pm 0.5 L/r}\approx 1 \mp 0.5 L/r$ basándote en que $r \gg L$ y que lleves el asunto a sus últimas consecuencias.

[nature]

Re: [VI]Uno de electromagnetismo. Fuerza sobre un dipolo

Bueno a mi me parece correcto el planteamiento del problema pero creo que tienes un error en la ecuación (6), al sacar factor comun 2q deberia quedar:

$<br /> \begin{aligned}\vec{F}=\left( -\frac{\lambda}{4 \pi\epsilon_{0} ||2q\vec{r}-\vec{p}||}+\frac{\lambda}{4 \pi\epsilon_{0}||2q\vec{r}+\vec{p}||} \right)\hat{i}<br /> \end{aligned}<br />$

Respecto a la ecuacion (7) No puedes hacer eso por que recuerda que la multiplicacion de vectores no esta definida, en su lugar esta el producto escalar o el producto vectorial. En ese caso para resolver debes proceder primero con la multimplicacion de $2q\vec{r}$ que si se puede ya que es un escalar por un vector, luego la suma de los vectores resultantes darán otro vector digamos $\vec{A}=\vec{r}-\vec{p}$ y luego el modulo: $\vert\vec{A}\vert$

[skinner]

Re: [VI]Uno de electromagnetismo. Fuerza sobre un dipolo

Gracias a los dos. Llevas razón Al, es inútil trabajar con los vectores si ya tengo hacia adónde apuntan, buena observación.

Saludos y gracias de nuevo!