1r ciclo [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

[skinner]

Buenas! Todos conocemos la expresión de la fuerza magnética que ejerce un campo magnético sobre una varilla:

$\dst \vec{F_{B}}=I\vec{L}\wedge\vec{B}$

Hay varios ejercicios en los que, además de darme una longitud para la varilla, me dan también un radio de la misma. ¿De qué forma cambia la fuerza magnética en función del radio de la varilla?

¿Es la misma fuerza la que se ejerce sobre una varilla de radio cercano a cero, que sobre una con radio cercano a infinito?

Muchas gracias!

Saludos

[Al2000]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

La ecuación que pones aplica a una corriente filamentaria de cualquier forma en un campo magnético uniforme. El vector $\vec L$ es el vector que une el punto inicial con el punto final de la corriente.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

¿ Entonces cómo puedo calcular la fuerza magnética que ejerce un campo magnético sobre una varilla de longitud 12[cm] y radio 6[cm] que tiene una intensidad de 12[A]?

Saludos y gracias!

[Al2000]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

La divides en filamentos de longitud infinitesimal e integras a todo el volumen: $\dst \boldsymbol F = \int_V \boldsymbol j \times \boldsymbol B \, dV$.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

Entonces ahora me surgen tres dudas. Agradecería un pelín más de detalle en las expresiones que usas, si no es demasiado pedir, ya que soy iniciado en este ámbito de la física, y me cuesta bastante entender los conceptos. Ahí van mis cuestiones:

1º) ¿Tiene nombre propio esa ecuación que planteaste? ¿Cómo la deduciste? Lo digo porque en mi libro esa fórmula no está (bueno, en mis libros, porque estoy estudiando con 3 libros a la vez; Tipler, Serway, y Fundamentos Físicos de la ingeniería).

2º) Sé que $\vec{j}$ es la conocida densidad de corriente, pero la conozco como una magnitud escalar: $\dst j=\frac{I}{A}=\sigma E$. ¿Qué forma adopta expresada como magnitud vectorial? Creo que es la velocidad de los portadores de carga, pero entonces ¿cómo puedo trabajar la expresión de tu post? No conozco la velocidad de los portadores de carga... je

3º) El problema de calcular la fuerza sobre la varilla tiene que ser más sencillo que todo esto. Me baso en que este ejercicio que propuse se encuentra en el tema de "Campo magnético", un tema de introducción en el que no aparece esa fórmula. Te copio el problema en concreto:

"Una varilla de 0.720[kg] de masa y un radio de 6[cm] descansa sobre dos railes paralelos que están separados por un valor d=12[cm] y tiene una longitud L=45[cm] de largo. La varilla conduce una corriente de 48[A] en el sentido mostrado en la figura (no puedo poner la figura; supongamos un sentido arbitario) y rueda por los railes sin resbalar. Perpendicularmente a la varilla y a los rieles existe un campo magnético uniforme de magnitud 0.24[T]. Si parte del reposo, ¿cuál será la velocidad cuando se salga de los rieles?"

Mi planteamiento:

Se trata de un MRUA, debido a que sobre la varilla actúa una fuerza neta no nula. Por tanto, la velocidad al final de los raíles será:

$$v=\sqrt{2La}$$

donde L es la longitud de los raíles (es un dato) y donde a es la aceleración de la varilla.

Para calcular la aceleración recurro a la 2ª Ley de Newton. Para ello necesito conocer qué fuerza magnética actúa sobre la varilla durante su recorrido.

La solución es v=1.07[m/s] según el solucionario. Sin embargo, cuando yo lo hice (sin tener en cuenta el radio de la varilla) obtuve v=3.3[m/s]

Este problema está clasificado de dificultad media. Así que tampoco debe ser demasiado complicado.

¿Cómo lo puedo hacer?

Ayuda porfavor!

Un saludo

[Al2000]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

...
2º) Sé que $\vec{j}$ es la conocida densidad de corriente, pero la conozco como una magnitud escalar: $\dst j=\frac{I}{A}=\sigma E$. ¿Qué forma adopta expresada como magnitud vectorial? Creo que es la velocidad de los portadores de carga, pero entonces ¿cómo puedo trabajar la expresión de tu post? No conozco la velocidad de los portadores de carga... je
...

$\boldsymbol j$ es un vector. Se define como $\dst i = \int_A \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S$, es decir, la corriente es el flujo de la densidad de corriente. Puedes relacionarla con el campo eléctrico en el conductor por la expresión $\boldsymbol j = \sigma \boldsymbol E$ y con la velocidad de arrastre por la expresión $\dst \boldsymbol v_d = \frac {\boldsymbol j} {n q}$. En el caso de una densidad de corriente constante, entonces $j = i/A$.

...
1º) ¿Tiene nombre propio esa ecuación que planteaste? ¿Cómo la deduciste? Lo digo porque en mi libro esa fórmula no está (bueno, en mis libros, porque estoy estudiando con 3 libros a la vez; Tipler, Serway, y Fundamentos Físicos de la ingeniería).
...

Si te soy honesto, la escribí sobre la marcha. Si tiene un nombre, en este momento no la ubico. Iba a explicarte que tendrías que integrar la expresión $\dst d \boldsymbol F = i \,d \boldsymbol l \times \boldsymbol B$, válida para un elemento de corriente filamentario cuando me percaté de que estábamos hablando de una alambre de grosor finito. Entonces la sección transversal del conductor habría que dividirla en elementos de área (imagínate hacer una cuadrícula) y cada $d \boldsymbol l$ sería un minúsculo cilindro de base $dS$ y altura $dl$ que transporta una corriente $di = j\, dS$ y la fuerza quedaría $\dst d \boldsymbol F = j\,dS\,d \boldsymbol l \times \boldsymbol B = j\,dS\,dl\, \boldsymbol u_T \times \boldsymbol B = \boldsymbol j \times \boldsymbol B\,dV$.

...
3º) El problema de calcular la fuerza sobre la varilla tiene que ser más sencillo que todo esto.
...

Claro que es mas sencillo, simplemente yo no quise particularizar mi respuesta. En tu caso, con $\boldsymbol j$ y $\boldsymbol B$ constantes, la fuerza queda simplemente $\dst \boldsymbol F = \int_V \boldsymbol j \times \boldsymbol B\, dV = \boldsymbol j \times \boldsymbol B \int_V dV = \boldsymbol j \times \boldsymbol B \, A L = i L\, \boldsymbol u_T \times \boldsymbol B = i \boldsymbol L \times \boldsymbol B$, con lo que regresamos al principio.

En realidad la dificultad del problema, y la razón para que te den el radio del conductor, es que la varilla (cito) rueda por los railes sin resbalar. Entonces debes resolver en problema no como una varilla que desliza, sino mas bien como un cilindro que rueda. Si con este recordatorio no lo puedes resolver, dilo y discutimos el movimiento.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

Hola Al... Pues entonces no caigo, no caigo... No sé por qué me dan el radio, pues.

¿Puedes ayudarme con el problema? Al menos aclararme aún más ese recordatorio

Saludos.

[Al2000]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

De hecho, el radio no hace falta para el cálculo.

Cuando un objeto rueda como consecuencia de una fuerza aplicada, parte del trabajo que realiza la fuerza aparecerá como energía cinética de traslación del cuerpo ($\frac 1 2 m v^2$) y parte como energía cinética de rotación ($\frac 1 2 I \omega ^2$). La forma mas sencilla de resolver este problema es invocar la conservación de la energía y plantear que la suma de las energías cinéticas de traslación y de rotación es igual al trabajo hecho por la fuerza magnética:

$$\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 I \omega ^2 = F L = i d B L$$

Poniendo que el momento de inercia de la barra es $I = \frac 1 2 m R^2$ y que la velocidad angular es $\omega = v/R$, se obtiene al sustituir en la ecuación anterior que

$$\frac 3 4 m v^2 = i B d L \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt {\frac {4 i d B L}{3 m}} = 1.0733\,\mathrm{\frac m s}$$

Saludos,

Al

[skinner]

Re: [X]Uno de electromagnetismo: Elemento de corriente (varillas)

¡Vaya! Qué forma más elegante de hacer el problema. Yo no he estudiado los momentos de inercia en este curso, pero el libro supone que ya los he estudiado. Por tanto debe hacerse como tú dijiste.

¡Gracias Al!

Saludos