1r ciclo Conexion de esferas. Voltaje final

[beapc]

Se tiene una esfera de 20cm de radio que se ha cargado a $10^4$ V. Con otra esfera metálica de 4cm de radio, inicalmente descargada, se toca la grande y despues de separarlas, se descarga la pequeña. Este proceso de repito 7 veces en total. ¿Cuál es el voltaje final de la esfera grande?

[skinner]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

Vamos por partes...

La esfera grande (supongo que es conductora) almacenará su exceso de carga en su superficie. El potencial en dicha superficie viene dado por la fórmula que conocerás:

$\dst <br /> V=\frac{kq_{1}}{r_1}\Rightarrow \boxed{q_{1}=\frac{V r_{1}}{k}=\ldots =222.22[nC]}<br />$

Es decir, una esfera con ESE radio, y cargada a ESE potencial, almacenará en torno a 222.22 nanoculombios.

Ahora se nos dice que, con otra esfera inicialmente descargada y de radio 4cm, se toca la esfera grande. Una vez cargada la esfera pequeña, se descarga y se repite el proceso unas siete veces.

La primera vez que tocamos la esfera grande, ésta posee un potencial de $10^4 [V]$. Al entrar en contacto se igualan sus potenciales; así, la carga que adquiere la esfera pequeña tras tocar a la grande será de aproximadamente $44.44[nC]$. Esta carga que adquiere la pequeña será desprendida de la grande (recuerda que la cantidad total de carga debe ser constante). Por tanto la nueva cantidad de carga en la grande es de: $222.22 - 44.44 = 177.78 [nC]$. Al disminuir la carga de la esfera grande disminuirá su potencial hasta $8000[V]$. La segunda vez que repetimos el proceso, el potencial de la esfera grande será de $6400[V]$; la tercera vez, de $5120 [V]$; etc.

Si en lugar de repetir 7 veces repitiéramos las necesarias, ambas cargas quedarían finalmente igualadas en carga. No caigas en la trampa de suponer Q=0 debido a que V=0, ya que esto no es siempre así...

Ahora ya sabes cómo continuar.

Saludos!

[Al2000]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

Se tiene una esfera de 20cm de radio que se ha cargado a $10^4$ V. Con otra esfera metálica de 4cm de radio, inicalmente descargada, se toca la grande y despues de separarlas, se descarga la pequeña. Este proceso de repito 7 veces en total. ¿Cuál es el voltaje final de la esfera grande?

Cada vez que toque la esfera grande con la esfera pequeña, parte de la carga pasa a la esfera pequeña de modo que al igualarse los potenciales las nuevas cargas quedarán distribuidas en proporción directa al radio de cada esfera. Saca la cuenta de cuánto disminuye la carga de la esfera grande luego de cada contacto y extrapola a cuando lo hayas hecho 7 veces. El voltaje final variará en la misma proporción, puesto que es proporcional a la carga de la esfera (a mi me da 2791 V).

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

Al, ¿cada vez que se tocan las dos esferas disminuye el potencial de la esfera mayor? ¿El método que describí arriba estaba bien?

Y por último, ¿qué es extrapolar y cómo lo hago?

Saludos!

[Al2000]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

No puedo responderte con propiedad porque no pusiste como hiciste el cálculo de la carga, sin embargo mis cuentas para un primer contacto no concuerdan con las tuyas.

Como bien dices en tu mensaje, al conectar las esferas se redistribuye la carga y se igualan los potenciales. Aceptando que podamos hacer el cálculo del potencial como si fuesen dos esferas muy distantes la una de la otra, tendrías para el potencial final:

$$V' = k \frac {Q_1'}{R_1} = k \frac {Q_2'}{R_2}$$

pero

$$Q_1' + Q_2' = Q_1$$

de modo que combinando las dos ecuaciones llegamos que, luego del primer contacto, la carga final de la esfera grande es

$$Q_1' = \frac {R_1}{R_1+R_2} Q_1$$

y luego de $n$ contactos tendríamos

$$Q_1' = \left(\frac {R_1}{R_1+R_2}\right)^n Q_1$$

El potencial es proporcional a la carga, de modo que aplica la misma expresión.

Entonces, volviendo a tu pregunta, mi cuenta para la carga de la esfera pequeña luego de un primer contacto es

$$Q_2' = \frac {R_2}{R_1+R_2} = \frac 4 {20 + 4} \cdot 222.22\,\mathrm{nC} = 37.04\,\mathrm{nC}$$

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

Yo me basé en otro principio (e intento averiguar si es válido o no).

Cuando la esfera pequeña inicialmente descargada toca por Primera vez a la esfera grande, la cual posee 222.22nC inicialmente, y cuyo potencial es inicialmente de 10000V, parte de esta carga se transfiere a la carga pequeña. ¿Cuánta? Pues como las dos se ponen a un mismo potencial (10000V), dado el radio de la esfera pequeña (4cm) concluimos que se traspasa una carga de Q=44.44 nC.

¿Hay algo erróneo en ese razonamiento?

Un saludo y mil gracias!

[Al2000]

Re: Conexion de esferas. Voltaje final

Si, estás asumiendo que el voltaje no cambia y en verdad no tienes ninguna razón para ello

Saludos,

Al