1r ciclo campo creado por 3 hilos

[rupiopan]

tengo el siguiente problema en el cual no consigo llegar a la solución correcta usando la fórmula para el campo magnetico creado por un hilo.

Tres alambres muy largos se disponen paralelamente entre sí a distancias
iguales de 20cm. Por todos ellos circula la misma corriente, 10A, aunque en
uno lo hace con sentido contrario a los otros dos.

necesito calcular el campo creado en el eje del conjunto. el resultado debería ser 3’46x10-5 T

la corriente que cada hilo de los lados en el centro sería 0,00002 T, por 2 sería 4x10-5 T y el de enmedio no suma nada.

Ahí están mis dudas. Gracias

[Al2000]

Re: campo creado por 3 hilos

¿Cómo que el de enmedio no suma nada? ¿Cuál es el de enmedio? ¿Cómo estás interpretando la distribución de corriente, como 3 conductores paralelos en un mismo plano? Si es así, "el de enmedio" produciría un campo infinito. Una última cosa y te dejo quieto, la suma de los campos es una suma vectorial, no puedes agarrar el campo de una corriente y multiplicar por 2 sin mas ni mas, sin haber verificado sus direcciones.

Saludos,

Al

[bertolet]

Re: campo creado por 3 hilos

¿Dónde se supone que has de calcular el campo magnético? ¿En el eje equidistante a los tres conductores?

De todas formas, determinar el campo que crea cada conductor filiforme infinito es muy fácil mediante la Ley de Ampère, pero tal y como señala Al2000, debes tener en cuenta que se trata de una suma vectorial (y que, además, si lo haces en cilíndricas que es lo más normal, los vectores $\vec{u_\rho}$ apuntarán en direcciones diferentes en cada caso).

[rupiopan]

Re: campo creado por 3 hilos

"en el eje del conjunto" si los hilos hilos equidistan 20cm quizás quiera decir que forman un triángulo....voy a pensar en esto...

es un vector que solo tiene componente radial en cilíndricas, entonces con la regla de la mano derecha sumo y resto.

saludos y gracias

[rupiopan]

Re: campo creado por 3 hilos

según la mano derecha un hilo se anula con el otro hilo que lleva la corriente en el mismo sentido y solo nos queda el tercer hilo que expresándolo en valor absoluto según la ley de Ampere lo único que nos queda saber es el baricentro del triangulo equilatero que sería en cm (10,10/sqrt3) (creo) y me sale 1,8 10-5 que no coincide.

me equivoco en algo? podeis ayudarme a encontrar el valor numérico exacto?

saludos y gracias

[bertolet]

Re: campo creado por 3 hilos

Si los tres hilos forman un triángulo equilátero de lado $l=20 \text{cm}$-que es lo que deduzco yo del enunciado-, en el baricentro no se anulan dos componentes entre sí en ningún caso. Ten en cuenta que el campo magnético que generará cada hilo será en la componente acimutal respecto de cada hilo. Es decir, si dibujas una circunferencia centrada en cada hilo y radio en el baricentro, el campo magnético generado por cada uno de ellos será tangente a cada circunferencia. Si lo piensas un poco verás que los tres vectores tienen direcciones diferentes y deberás sumarlos.

Si consideras un sistema de referencia con origen en el hilo y el eje z justamente en la dirección del hilo, el campo generado por un conductor filiforme infinito es $\vec{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\vec{u_\phi}$. Lo importante es: el vector $u_\phi$ (componente acimutal) es diferente en cada punto y depende, evidentemente del origen del sistema de coordenadas que escojas. La expresión del campo magnético con este vector sólo es válida si escoges el origen en el hilo conductor. Lo que debes tener claro, independientemente del sistema de coordenadas que escojas, es que el campo magnético generado por un hilo infinito conductor es tangencial a las circunferencias centradas en el hilo. Es decir, las líneas de campo forman círculos centrados en el mismo. O dicho de otra manera, la dirección del campo será perpendicular al radio de dichas circunferencias en cada punto, esto es, a la línea que une el hilo conductor y el punto donde se quiere calcular el campo.

Para el problema que nos ocupa, por ejemplo, si escoges el origen del sistema de coordenadas en el baricentro, y consideras un plano xy, puedes considerar a uno de los hilos en el eje Y (en $\vec{r_1}=\frac{l}{\sqrt{3}}\vec{u_y}$). El campo$\vec{B}$ que generará en el origen tendrá la dirección $\vec{u_x}$. Otro hilo estará situado en $\vec{r_2}=\frac{l}{2}\vec{u_x}-\frac{\sqrt{3}}{6}l\vec{u_y}$. Te recuerdo que el apotema de un triángulo equilátero es justamente $\frac{\sqrt{3}}{6}l$ y su radio $\frac{l}{\sqrt{3}}$, de aquí salen estas expresiones. El tercer hilo estará en $\vec{r_3}=-\frac{l}{2}\vec{u_x}-\frac{\sqrt{3}}{6}l\vec{u_y}$, por lo que, como dijimos antes, generarán campos magnéticos en las direcciones perpendiculares a dichos vectores que, como puedes ver, no son las mismas. Para el hilo 2, la dirección será $\frac{1}{2}\vec{u_x}+\frac{3}{2\sqrt{3}}\vec{u_y}$, para el hilo 3, el campo irá en la dirección $\frac{1}{2}\vec{u_x}-\frac{3}{2\sqrt{3}}\vec{u_y}$. Estas direcciones son perpendiculares a los vectores de posición. Especifico que éstas son direcciones, NO sentidos, por lo que puedes determinarlas mediantes producto escalar, por ejemplo. Los sentidos de los campos vendrán dados por la regla de la mano derecha, es decir, según el sentido de las corrientes que recorren cada hilo.


Dicho esto, si suponemos que el conductor situado en $\vec{r_1}$ lleva sentido contrario a los otros dos (corriente en la dirección negativa de z), generará un campo en el sentido negativo del eje x según la regla de la mano derecha. Así,
$\dst \vec{B_1}=-\frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}\vec{u_x}$.
Los otros dos hilos, con corriente definida positiva en el eje z, generarán campos, respectivamente:
$\dst \vec{B_2}=\frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}\left( -\frac{1}{2}\vec{u_x}-\frac{3}{2\sqrt{3}}\vec{u_y}\right)$.
$\dst \vec{B_3}=\frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}\left( -\frac{1}{2}\vec{u_x}+\frac{3}{2\sqrt{3}}\vec{u_y}\right)$.

La suma de los dos últimos cancela la parte en y, lógicamente:
$\dst \vec{B_2}+\vec{B_3}=-\frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}\vec{u_x}$

Y, sumando la contribución del primer hilo, se tiene:
$\dst \vec{B}=\vec{B_1}+\vec{B_2}+\vec{B_3}=-\frac{\mu_0 I}{\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}\vec{u_x}$, cuyo módulo es, pues, $\dst\left\vert{}\vec{B} \right\vert{}=\frac{\mu_0 I}{\pi \frac{l}{\sqrt{3}}}$.

Sustituyendo los datos del problema $I=20 \text{A}$, $l=20 \text{cm}$, se tiene:

$\dst\left\vert{}\vec{B} \right\vert{}= 6.928 \cdot 10^{-5} \text{T}$. Este resultado dividido por dos es el que tú das como correcto, así que me habré equivocado en un factor 2 por ahí que ahora mismo no consigo ver.

Por último, puedes notar que tanto la elección de ejes como la elección del conductor con intensidad negativa es arbitraria y no influye en el resultado (del módulo, lógicamente), pues siempre los dos conductores con intensidad en el mismo sentido anularán entre sí la componente perpendicular al campo que produce el tercer conductor, y sumarán, entre ambas, la misma contribución que el tercero en la componente tangencial.

Saludos.

Edito: Efectivamente, con $I=10 \text{A}$ se obtiene el resultado dado.

[rupiopan]

Re: campo creado por 3 hilos

Impresionante......la intensidad es 10 A entonces queda perfecto......pues voy a empollarlo todo.

lo más dificil es calcular las coordenadas de cada hilo y los vectores.

Gracias!