Divulgación Campo Electrico Disco Cargado

[nature]

Hola a todos, bueno he estado estudiando las distribuciones de carga y surgió una duda de tipo descriptiva (no cuantitativa) que espero me puedan aclarar:

Un disco cargado produce el siguiente campo electrico para todos los puntos que pertenecen al eje del disco, me explico, supongamos un disco con centro en el origen cuyo eje apunta en la direccion $\hat{a}z$ con densidad de carga uniforme $\sigma$ y radio R. Produce el siguiente campo:

$\begin{aligned}<br /> \vec{E}=&\frac{2 q}{4 \pi \epsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \hat{a}z\\<br /> \vec{E}=&\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \hat{a}z<br /> \end{aligned}$

Ahora aqui mi duda, para el caso en que $z=0$ existe campo electrico, es decir si situamos una carga de prueba justo en ese punto (que se estaria sobreponiendo a la carga del disco) percibiria una fuerza neta en la misma dirección dada por:

$\begin{aligned}<br /> \vec{E}_{(0,0,0)}=&\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\left(1 - \frac{0}{\sqrt{0+R^2}}\right) \hat{a}z = \, \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{a}z<br /> \end{aligned}$

Entonces como explicas esta fuerza? por que no pasa igual que en el caso del anillo donde la fuerza en el centro se anula. Tengo alguna idea del asunto pero no muy clara, creo que la diferencia radica en la carga que esta justo en el centro del disco (en el origen) la cual si ejerce una fuerza neta en direccion $\hat{a}z$... pero como dije no estoy muy claro. Asi que... Que Opinan??

[Al2000]

Re: Campo Electrico Disco Cargado

La fórmula no es aplicable en el disco. De paso permíteme apuntar que si consideras $z$ una coordenada, la expresión tal como la escribiste no es correcta. La expresión correcta sería

$$\vec{E}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\left(\frac z {|z|} - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \hat{a}_z = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\left(\mathrm {signo} \, (z) - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) \hat{a}_z$$

y la operación $\dst \frac z {|z|}$ no está definida para $z = 0$. En esencia el asunto es que estás considerando una carga finita $q = \pi \sigma R^2$ distribuida en un volumen cero, lo cual implica una densidad volumétrica de carga infinita, por lo cual el campo electrico no estaría definido en esa región del espacio.

Saludos,

Al

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Re: Campo Electrico Disco Cargado

Oye Al Tremendo!! Magistral!! muchas gracias ya veo que mi duda era un error garrafal en el planteamiento matematico que me llevo a una conclusión fisica aun peor..!!, bueno entiendo claramente de donde proviene la expresión correcta $\frac z {|z|}$ y respecto a:

En esencia el asunto es que estás considerando una carga finita $q = \pi \sigma R^2$ distribuida en un volumen cero, lo cual implica una densidad volumétrica de carga infinita, por lo cual el campo electrico no estaría definido en esa región del espacio.

Aqui si no entiendo por que dices eso. ok la carga es $q = \pi \sigma R^2$ pero no se a que te refieres con "distribuida en un volumen cero" ni tampoco por que hablas de densidad de carga volumetrica si el caso trata de densidad de carga superficial.

Pero en definitiva la respuesta es: El campo electrico no esta definido en el punto en cuestión, pero si hacemos tender $z \rightarrow 0$ si podriamos obtener un valor de campo electrico ya que no se indeterminaria, y el resultado tiende a:

$\dst \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$

Cierto?

[Al2000]

Re: Campo Electrico Disco Cargado

...
Aqui si no entiendo por que dices eso. ok la carga es $q = \pi \sigma R^2$ pero no se a que te refieres con "distribuida en un volumen cero" ni tampoco por que hablas de densidad de carga volumetrica si el caso trata de densidad de carga superficial.

Pero en definitiva la respuesta es: El campo electrico no esta definido en el punto en cuestión, pero si hacemos tender $z \rightarrow 0$ si podriamos obtener un valor de campo electrico ya que no se indeterminaria, y el resultado tiende a:

$\dst \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$

Cierto?

Pues precisamente eso, estás considerando que una carga finita está distribuída sobre una superficie. La densidad volumétrica es entonces infinita. Eso hará que el campo no esté definido en esa región, pues "infinito" no es un valor definido. Si te detienes a pensar un momento es cómo varía el campo cuando avanzas desde los valores negativos de $z$ hacia los valores positivos, verás que el campo apunta en direcciones opuestas y que cambia abruptamente del valor límite por la izquierda $\dst - \frac \sigma {2 \epsilon_0} \boldsymbol u_z$ al valor límite por la derecha $\dst + \frac \sigma {2 \epsilon_0} \boldsymbol u_z$, quedando indefinido en $z=0$ en donde hay un salto discontinuo $\dst \frac \sigma {\epsilon_0}$, salto que ocurre siempre que atraviezas una capa de carga superficial de densidad $\sigma$.

Como ejemplo adicional te pongo el caso del campo en una esfera conductora, en donde consideramos que, por ser conductora, toda la carga de la esfera se encuentra en su superficie y que, por ser una esfera, la carga se distribuye uniformemente. El cálculo del campo eléctrico muestra que es idéntico al de una carga puntual en puntos exteriores, $\dst \boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2} \boldsymbol u_r$ y cero en el interior del conductor. Uno puede decir en este momento que la expresión anterior muestra que el campo en la superficie vale $\dst \boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {R^2} \boldsymbol u_r = \frac \sigma {\epsilon_0} \boldsymbol u_r$ y de hecho lo decimos impúdicamente cada vez que hablamos del campo en la superficie de un conductor. Pero ese valor no es mas que el límite cuando te acercas desde el exterior a la superficie de la esfera. Si te acercas desde el interior, el campo será cero todo el tiempo. De nuevo hay una discontinuidad de valor $\dst \frac \sigma {\epsilon_0}$ cuando atraviesas la superficie. La densidad volumétrica de carga en la superficie del conductor es infinita. Está claro que esto es producto de la idealización de la situación y que en cualquier conductor real la carga estará distribuida en una capa superficial de espesor no nulo, por muy delgada que pueda ser.

Bueno, ya me exendí demasiado, ya debes tener la idea de cómo mirar el asunto.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Campo Electrico Disco Cargado

De nuevo, Muchas Gracias Al. Simplemente Magistral!! Ten por seguro que has creado un monton de sinapsis nuevas en mi cerebro.