Equivalente de Thévenin de circuito con fuente dependiente en el dominio operacional

[Alriga]

La carga inicial en el condensador del circuito mostrado es cero.

a) Determine el circuito equivalente de Thévenin en el dominio de s con respecto de los terminales a y b.

b) Determine la expresión en el dominio s y en el tiempo t correspondiente a la corriente que el circuito entrega a la carga, compuesta de una bobina de 1 H en serie con una resistencia de 2 Ohm.

a)

Tensión en vacío, (tensión de Thévenin)

Para calcular la tensión en vacío $V_{th}$ nos fijamos en el circuito (1) de la izquierda, en el que la carga está desconectada, los parámetros están expresados en el dominio operacional y usamos como referencia de tensiones el punto b. En vacío $I_1=0$ y por lo tanto no hay caída de tensión en la resistencia de 5 Ohm. Eso implica que

$V_x=E=\dfrac{20}s$

Sí circulará la corriente $I_2$ que no es nula. Para calcular la tensión en el punto "a" usamos “divisor de tensión” en el circuito formado por la fuente dependiente, la resistencia de 1 Ohm y el condensador:

$V_a=V_{th}=V_x+\left ( 0.2 V_x \ \dfrac{\dfrac 1{0.5 s}}{1+\dfrac 1{0.5 s}} \right )$

$V_{th}=\dfrac{20}s +\dfrac 4 s \cdot\dfrac{\dfrac 1{0.5 s}}{1+\dfrac 1{0.5 s}}$

$$V_{th}=\dfrac{20}s+\dfrac 8{s (s+2)}$$

Corriente de cortocircuito

Para calcular la impedancia de Thevenin calcularemos como paso previo la corriente de cortocircuito. Para ello cortocircuitamos el punto "a" con el punto "b", circuito (2) del centro, y calcularemos $I_{cc}$ . Usaremos el método de los nudos para calcular en primer lugar $V_x$ con los sentidos de las corrientes arbitrarias del dibujo (2)

$\dfrac{\dfrac{20}s-V_x}5=\dfrac{V_x}{\dfrac 1{0.5 s}}+\dfrac{V_x+0.2 V_x}1$

Operando y despejando:

$V_x=\dfrac{40}{s (5s+14)}$

$I_{cc}=\dfrac{\dfrac{20}s-V_x}5$

Sustituyendo y operando:

$I_{cc}=\dfrac 4 s-\dfrac{8}{s (5s+14)}$

Impedancia de Thévenin

$Z_{th}=\dfrac{V_{th}}{I_{cc}}$

$Z_{th}=\dfrac{\dfrac{20}s+\dfrac 8{s (s+2)}}{ \dfrac 4 s-\dfrac{8}{s (5s+14)}}$

$$Z_{th}=5+\dfrac 4{s+2}$$

b)

Conectamos la carga y obtenemos el circuito equivalente (3) de la derecha.

$I=\dfrac{V_{th}}{Z_{th}+2+s}$

$I=\dfrac{\dfrac{20}s+\dfrac 8{s (s+2)}}{5+\dfrac 4{s+2}+2+s}$

$I=\dfrac{4(5s+12)}{s(s+3)(s+6)}$

Operando:

$$I(s)=\dfrac 8{3s}+\dfrac 4{3(s+3)}-\dfrac 4{s+6}$$

Realizando la Transformada Inversa de Laplace:

$$i(t)=\dfrac 8 3+\dfrac 4 3 \ee^{-3 t} -4 \ee^{-6 t}$$

Vemos que en régimen permanente, $t \rightarrow \infty$ la corriente que obtenemos es:

$$i(t \rightarrow \infty)=\dfrac 8 3 \ A$$

No nos lo piden, pero analicemos el circuito en régimen permanente a ver si obtenemos el mismo resultado. Cuando el transitorio se haya extinguido, por el condensador no pasará corriente (se comportará como un circuito abierto) mientras que la bobina se comportará como un cortocircuito. El circuito a analizar es el siguiente:

Por un lado, la corriente cuando atraviesa la resistencia de 5 Ohm debe cumplir:

$$I=\dfrac{20-V_x}5$$

Por otro lado, cuando atraviesa las resistencias en serie de 1 y de 2 Ohm también debe cumplir:

$$I=\dfrac{V_x+0.2 V_x}{1+2}$$

Resolviendo el sencillo sistema de 2 ecuaciones (1) y (2) con 2 incógnitas obtenemos:

$V_x=\dfrac{20}3 \ V$

$$I=\dfrac 8 3 \ A$$

Saludos.

[meg]

Re: Necesito ayuda con este problema de circuitos!

puede utilizarse fasores? se lleva al dominio complejo y se resuelve trabajando todo como resistencias

[javiertapia1989]

Hola:

Necesito resolver este ejercicio para un ramo que se llama fundamentos de la Ingeniería Eléctrica, por favor si alguien me puede ayudar se lo agradecería muchísimo!

de ante mano gracias,

atte.

Javier Tapia Carrera

Alumno 4to año Ingeniería Civil Industrial