Divulgación Campo Eléctrico de un Dipolo

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Saludos. Me encuentro resolviendo un problema en el que necesito hallar el campo eléctrico de un dipolo en un punto cualquiera P(x,y), el libro tiene la solución planteada y el objetivo es demostar que tal solución es cierta:

$\begin{aligned}<br /> E_x= &\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{3pxy}{(x^2+y^2)^{5/2}}\\<br /> E_y=&\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{p(2y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}<br /> \end{aligned}$

Luego de hacer el planteamiento llegue a las siguientes expresiones:

$\begin{aligned}<br /> \vec{E}_x^+=&\frac{qx' \hat{a}x}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left(1+ \frac{3(-a^2+2ay')}{2r^2}\right)\\<br /> \vec{E}_y^+=&\frac{q (y'-a) \hat{a}y}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left(1+ \frac{3(-a^2+2ay')}{2r^2}\right)\\<br /> \vec{E}_x^-=&\frac{qx' \hat{a}x}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left(-1+ \frac{3(a^2+2ay')}{2r^2}\right)\\<br /> \vec{E}_y^-=&\frac{q (y'+a) \hat{a}y}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \left(-1+ \frac{3(a^2+2ay')}{2r^2}\right)<br /> \end{aligned}$

Bueno para explicar de donde sale todo, una imagen:

Bueno el asunto es que cuando sumo las componentes $E_x$ si me da como en el libro, pero cuando sumo las $E_y$ me da esto:

$\dst E_y=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{p(2y^2-x^2+\frac 32 a^2)}{(x^2+y^2)^{5/2}}$

Que es muy similar excepto por el ultimo termino $\frac 32 a^2$. Entonces la pregunta es: Esta bien bien mi resultado o tengo algun error? será que en el libro han hecho una aproximación en la que descartan el ultimo termino o es que me he pelado en alguna parte?

Gracias de antemano

[Al2000]

Re: Campo Eléctrico de un Dipolo

Yo no se si te equivocaste o no, habría que ver lo que hiciste, pero lo que si se es que la fórmula que pones sacada del libro es una aproximación para $r \gg a$.

Saludos,

Al

PD. Si no hiciste ninguna aproximación, entonces habría que concluir que la fórmula que obtuviste no es correcta. Nota que no satisface algunas condiciones límite, por ejemplo:

- Si $y=0$, es decir sobre el eje $x$, la componente $y$ debería se siempre negativa y en tu expresión no lo es. En particular en el origen la componente debería apuntar en dirección $-y$.

- Si $x=0$, es decir sobre el eje $y$, la componente $y$ debería ser positiva para $|y|>a$ y negativa para $-a < y < a$ y en tu expresión es siempre positiva.

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Re: Campo Eléctrico de un Dipolo

Gracias Al, siempre muy objetivo.

Yo no se si te equivocaste o no, habría que ver lo que hiciste, pero lo que si se es que la fórmula que pones sacada del libro es una aproximación para .

Bueno estuve averiguando en internet y la expresión si resulta ser una aproximación para puntos lejanos ($r\gg a$).

Si no hiciste ninguna aproximación, entonces habría que concluir que la fórmula que obtuviste no es correcta.

Me temo que si las hice por que tuve que aplicar la expansion binomial a un binomio de tipo $(1+a)^{3/2}$ y solo use los primeros dos valores de k en dicha expansión K={0,1}, esto para mantener la maxima similitud al resultado del libro.

Entonces ahora (saliendo del problema del libro) ya que me parece que lo que hacen es despreciar el ultimo termino al que hago referencia con lo cual los resultados convergen. Que me recomiendas para mantener un resultado mas general que englobe puntos cercanos y lejanos? Basta con tomar otro valor de k en la expansion binomial? o debo reformular todo de nuevo?

PD: si necesitas ver el resto del analisis que hago para poder responder a mi pregunta, lo subo... Gracias!

[Al2000]

Re: Campo Eléctrico de un Dipolo

Como yo lo veo pues no hay que hacer nada, simplemente sumar los campos de las dos cargas y ya está (como diría supernena ) Por supuesto que sin hacer ninguna simplificación el resultado estará lejos de ser simple:

$$E_x = \frac {q x} {4 \pi \epsilon_0}\left(\frac 1 {[x^2 +(y-a)^2]^3} - \frac 1 {[x^2 +(y+a)^2]^3}\right)$$

$$E_y = \frac q {4 \pi \epsilon_0}\left(\frac {y-a} {[x^2 +(y-a)^2]^3} - \frac {y+a} {[x^2 +(y+a)^2]^3}\right)$$

No se si se podrá simplificar ese mounstro en algo Y además, ya no sería un dipolo... sería simplemente dos cargas puntuales y necesitarías saber los valores de $q$ y $a$ por separado.

Saludos,

Al

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Re: Campo Eléctrico de un Dipolo

Oye Al creo que en la ecuación que pones quisiste decir: ${[x^2 +(y+a)]^{3/2}}$ de lo contario no se de donde sale... Bueno estare esta noche tratando de establecer una formula a partir de la expansión binomial, si no puedo por ahi entonces como dices sumo las componentes y listo!

PD: si logro algo lo posteo...