1r ciclo Fuerza entre dipolos magnéticos

[MiG10]

Hola, busco una relación que me permita determinar la fuerza entre dos dipolos en un punto genérico, lo único que he encontrado es la fuerza de interacción a lo largo del eje del dipolo que varía como la inversa de la distancia a la cuarta entre ambos dipolos
Algun enlace o ayuda sería de agradecer
Un saludo

[[Beto]]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Hola, antes de desarrollar lo que dices te voy a dar una ayuda para ver si intentandolo tú te sale.

Intenta calcular el campo eléctrico en un punto cualquiera que no este en sobre la línea que pasa por los dipolos.

Si no llegas a la respuesta dime para colocarte la solución.

[MiG10]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

La expresión que he encontrado es esta
$E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}[\frac{-p}{r^3}+(\frac{3pr}{r^5})r]$
No tengo ni la menor idea de donde sale :s ,una vez con el campo eléctrico que crea el dipolo puedes calcular la fuerza haciendo $F=pE$? Supongo que luego habrá que hacer la analogia con el dipolo magnético, ¿van por ahi los tiros?
Un saludo

[[Beto]]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Espera un momento, antes de seguir ... creo que me he estado confundiendo o tu le has puesto mal el título ... ¿te refieres a dipolos magnéticos o eléctricos?

Yo te di la idea para dipolos eléctricos, si es asi si es correcto el razonamiento , el problema seria calcular el valor del campo eléctrico, si no te sale te puedo anotar como se hace.

[MiG10]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Espera un momento, antes de seguir ... creo que me he estado confundiendo o tu le has puesto mal el título ... ¿te refieres a dipolos magnéticos o eléctricos?

Yo te di la idea para dipolos eléctricos, si es asi si es correcto el razonamiento , el problema seria calcular el valor del campo eléctrico, si no te sale te puedo anotar como se hace.

Buscaba una expresión para la fuerza entre dipolos magnéticos en un punto genérico.Pero supongo que habrá que ver primero el caso del dipolo eléctrico que es más sencillo no?
La expresión que te puse antes no se como se dedujo....

[[Beto]]

Dipolo Eléctrico

Para el caso de dipolos eléctricos hay dos formas de resolver el problema:

Solamente anotaré la primera que es la más sencilla y consiste en hacer uso del potencial de un dipolo que genera en un punto $P$ y a partir de allí determinar el campo eléctrico en ese punto, para ello consideraré la siguiente figura:

Aquí el potencial del dipolo en $P$ está dado por:

$$V=k\frac{q}{r_1}-k\frac{q}{r_2}$$

Donde:

$$\begin{array}{c} \dst r_1=[r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\theta]^{1/2}\\<br /> \\<br /> \dst r_2=[r^2+\frac{d^2}{4}+rd\cos\theta]^{1/2}\end{array}$$

Luego reemplazando las expresiones (2) en (1) y operando se tiene que:

$$V=k\frac{q}{r}[(1+\frac {d^2}{4r^2}- \frac{d}{r}\cos\theta)^{-1/2} -(1+\frac{d^2}{4r^2}+\frac{d}{r}\cos\theta)^{-1/2}]$$

Ahora considerando que $d<<r$ se tiene $d/2<<r$ entonces $(d/2)/r\to 0$, y haciendo uso de la aproximación $(1+x)^{-1/2}\approx1-x/2$ se tiene que el potencial creado en el punto $P$ es:

$$V=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}$$

Luego teniendo en cuenta que $E=-\nabla V$ y usando coordenadas polares se obtiene el valor del campo eléctrico en el punto $P$:

$$E=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat n_r+ \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\hat n_\theta$$

Para obtener el valor de la fuerza eléctrica en ese punto a una carga $Q$ solamente bastará multiplicar su valor con el del campo generado por el dipolo en ese punto.
---------------------------------------

Para el caso de dipolo magnético imagino que el procedimiento debe de ser similar, y hay que tener en cuenta que se llama dipolo magnético a dos espiras por las cuales circula corriente eléctrica y están bastante separadas (corríjanme si me equivoco)

[MiG10]

Re: Dipolo Eléctrico

$$E=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat n_r+ \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\hat n_\theta$$

esta expresión la has obtenido derivando en función de theta y r el potencial del dipolo?? a mi me sale un sumando multiplicado por un factor dos,y los vectores unitarios cambiados

Para obtener el valor de la fuerza eléctrica en ese punto a una carga $Q$ solamente bastará multiplicar su valor con el del campo generado por el dipolo en ese punto.

Pero eso es la fuerza que ejerce el campo que crea un dipolo eléctrico sobre una carga, no entre dos dipolos...

[[Beto]]

Re: Dipolo Eléctrico

Hola

esta expresión la has obtenido derivando en función de theta y r el potencial del dipolo?? a mi me sale un sumando multiplicado por un factor dos,y los vectores unitarios cambiados

Tienes razón me falto colocar un factor $2$ (ya edité el mensaje), pero los vectores unitarios si están en el orden correcto.

Para obtener las componentes en cada caso lo que considere fue que en coordenadas polares:

$\dst E_r=-\frac{\partial}{\partial r}V$ y $\dst E_\theta=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}V$

La expresión que he encontrado es esta

No tengo ni la menor idea de donde sale :s ,una vez con el campo eléctrico que crea el dipolo puedes calcular la fuerza haciendo ? Supongo que luego habrá que hacer la analogia con el dipolo magnético, ¿van por ahi los tiros?
Un saludo

En esta parte tengo que hacerte una aclaración, pues el término $\vec p\times\vec E$ no es la fuerza entre dos dipolos si no mas bien es el momento dipolar que experimenta un dipolo al estar inmerso en un campo eléctrico uniforme.

Pero eso es la fuerza que ejerce el campo que crea un dipolo eléctrico sobre una carga, no entre dos dipolos...

Tienes razón también acá, pero en este caso lo que podrías hacer es calcular la fuerza eléctrica ejercida por un dipolo a cada una de las cargas que conforman al otro y luego su resultante; supongo que debe ser más complicado, pues también abría un torque sobre ese dipolo y este se debería a que este esta en el campo eléctrico generado por uno de ellos y además este no es uniforme.

Por el momento no te podría ayudar más sobre este problema, aunque voy a estar pensado y si se me ocurre algo nuevo lo haré saber, claro que aun faltaría ver el caso que preguntaste es decir para "dipolos magnéticos"

Un Saludo.

[MiG10]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Si sacas la energia del dipolo y usas la relación $F=-\nabla E$ podrías obtener la fuerza entre dos dipolos?
La analogía entre ambos dipolos es intercambiar los diferentes momentos dipolares y la permeabilidad magnética por el inverso de la permitividad eléctrica
No se si me he explicado bien
Un saludo

[polonio]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

El campo que ejerce un dipolo magnético es de la forma:

$\vec{B}_{1}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi\mid\vec{r}-\vec{r}'\mid^{5}}\left\{ 3\left[\vec{m_{1}}\cdot(\vec{r}-\vec{r}')\right](\vec{r}-\vec{r}')-\vec{m_{1}}\cdot(\vec{r}-\vec{r}')^{2}\right\}$

donde $\vec{r}$ es el punto genérico en el que queremos calcular el campo, $\vec{r}'$ es el punto en el que se encuentra el dipolo que produce el campo y $\vec{m_}_{1}$ es el momento magnético del dipolo que crea el campo. (Esta expresión se puede obtener del desarrollo multipolar del potencial vector magnético al quedarnos sólo con el primer término no nulo: el dipolar. Eso sí, no es tan fácil como el de un dipolo eléctrico...)

Se puede calcualar el trabajo que este campo hace sobre otro dipolo (de momento $\vec{m}_{2}$):

$W_{B}=\vec{m}_{2}\cdot\vec{B}_{1}(\vec{r})$

Y, si consideramos que el momento dipolar el uniforme:

$\vec{F}=(\vec{m_{2}}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}_{1}(\vec{r})$

Aquí tienes la fuerza que el dipolo de momento $\vec{m}_{1}$, situado en $\vec{r}'$, hace sobre el dipolo de momento
$\vec{m}_{2}$, situado en $\vec{r}$.

Espero que te sea útil.

[MiG10]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Muchas gracias Polonio.
He quitado de la fórmula la notación vectorial tomando el primer dipolo como origen de coordenadas

Si el campo es $B(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{-m_1}{r^3}+\frac{3(m_1\cdot r)r}{r^5})$

La energía será $U(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{-m_1m_2}{r^3}+\frac{3(m_1m_2\cdot r)r}{r^5})$

y la fuerza $F(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3m_1m_2}{r^4}$

que tiene toda la pinta de estar mal ¿Se supone que es en un punto generíco? me es familiar a la de la fuerza entre los dipolos magnéticos a lo largo del EJE de simetría

[[Beto]]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Si sacas la energia del dipolo y usas la relación $F=-\nabla E$ podrías obtener la fuerza entre dos dipolos?
La analogía entre ambos dipolos es intercambiar los diferentes momentos dipolares y la permeabilidad magnética por el inverso de la permitividad eléctrica
No se si me he explicado bien
Un saludo

Bueno ahora con esa aclaración esta bien aunque por lo general a la energía potencial se le denota por $U$ pues la letra $E$ es para campo eléctrico.

El campo que ejerce un dipolo magnético es de la forma:

Ahora la duda es mía, ¿Cómo se obtiene esa expresión?

[polonio]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

La energía será $U(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{-m_1m_2}{r^3}+\frac{3(m_1m_2\cdot r)r}{r^5})$

Ten en cuenta que has multiplicado mal en el segundo sumando: ¡ojo!, el producto escalar de dos vectores no es asociativo

$\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})\neq(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$

lo correcto sería:

$U(r)=\frac{\mu_0}{4\pi}(\frac{-m_1m_2}{r^3}+\frac{3(m_1\cdot r)r\cdot m_2}{r^5})$

(de todas formas, no me gusta nada lo de cargarse la notación vectorial: esto da lugar a muchos problemas y confusiones; no sabes cuándo estás multiplicando por un escalar o por un vector; por ejemplo lo del puntito de multiplicar no es ninguna tontería).

EDITO: si quieres el campo en coordenadas esféricas en el caso particular en que el dipolo esté en el origen y su momento sea $\vec{m}=m\vec{u}_{z}$, entonces:

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}m}{4\pi r^{3}}\left[2cos(\theta)\vec{u}_{r}+sen(\theta)\vec{u}_{\theta}\right]$

[polonio]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

Ahora la duda es mía, ¿Cómo se obtiene esa expresión?

Ya lo he comentado, aparece a partir del desarrollo multipolar del potencial vector.
También se podría a partir de un potencial escalar magnético (ya que estamos lejos de las fuentes).
De todas formas, es bastante tedioso, al contrario que para el campo eléctrico

[Gauss-Ostrogradski]

Re: Fuerza entre dipolos magnéticos

[FONT=Arial]Polonio, hay algo que no entiendo. [/FONT]
[FONT=Arial]como pasas de $\vec{F}=\vec{\nabla}.(\vec{m}.\vec{B})$[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial]a[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
$\vec{F}=(\vec{m}.\vec{\nabla}).\vec{B}$

Si no me equivoco
[FONT=Arial]$\vec{\nabla}.(\vec{m}.\vec{B})=\vec{B}X(\vec{\nabla}X\vec{m})+ \vec{m}X(\vec{\nabla}X\vec{B})+(\vec{B}.\vec{\nabla}).\vec{m}+(\vec{m}.\vec{\nabla}).\vec{B}$[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial]¿Porque el segundo termino es 0 ?[/FONT]