Divulgación Tensor Campo Electromagnetico

[natanael]

Como saben, estoy aprendiendo a usar los tensores para describir la leyes fisicas, pero la cosa es dificil, sin embargo estoy practicando con unos sencillos ejemplos, así que me pordonan los errores de notación y todo eso, ya que no estoy muy familiarizado

El tensor de campo electromagnetico es, según wikipedia:$\dst F=\begin{pmatrix}<br /> 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\<br /> -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\<br /> -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\<br /> -E_z/c & -B_y & B_x & 0<br /> \end{pmatrix}$

Basado en esto, la Ley de Lorentz, puede escribirse en forma tensorial (usando el convenio de sumación de Einstein) como: $\dst f_i=qF_{ij}v^j$

Ahora bien, fijemos una base canónica ortonormal $\dst \left\{0,\hat{\imath} ,\hat{\jmath} ,\hat{k} \right\}$ como sistema de referencia y supongamos que un chorro de partículas cargadas positivamente, se mueven en dirección $\dst \hat{\jmath}$ y pasa a través de un campo eléctrico constante en dirección $\dst -\hat{\imath}$, y tambien pasa a través de un campo magnético constante en dirección $\dst -\hat{k}$, dados todos estos datos que confinan el problema a una solucion única para la fuerza que experiementan las partículas, que sería, según la Ley de Lorentz $\dst \vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)$:

$$\dst \vec{F}=-q\left(E_x+v_yB_z\right)\hat{\imath}\equiv \begin{pmatrix}<br /> -q\left(E_x+v_yB_z\right) \\<br /> 0 \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}$$

Ahora bien, según la forma tensorial de la Ley de Lorentz tenemos que la cuadrivelocidad es $\dst v^j=\begin{pmatrix}<br /> \gamma c\\<br /> 0 \\<br /> v_y \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}$

Y el tensor eléctromagnetico que define la situación, es:

$\dst F=\begin{pmatrix}<br /> 0 & -E_x/c & 0 & 0 \\<br /> -\left( -E_x/c \right) & 0 & -\left( -B_z \right) & 0 \\<br /> 0 & -B_z & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0 & -E_x/c & 0 & 0 \\<br /> E_x/c & 0 & B_z & 0 \\<br /> 0 & -B_z & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}$

Y aplicando la Ley de Lorentz en forma tensorial nos queda:

$$\dst f_i=q\begin{pmatrix}<br /> 0 & -E_x/c & 0 & 0 \\<br /> E_x/c & 0 & B_z & 0 \\<br /> 0 & -B_z & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> \gamma c\\<br /> 0 \\<br /> v_y \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> q\left(\gamma E_x+v_yB_z\right) \\<br /> 0 \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}$$

Como pueden notar el resultado final de (1) es muy diferente de (2), primero, porque en (2) es un cuadrivector y en (1) es un vector canónico, y segundo porque hay un factor $\dst \gamma$ llamado factor de Lorentz.

Ahora despreciando la primera componente del cuadrivector, ya que hasta donde he visto, cuando se trabaja con cuadrivectores en física, las componentes significativas que direccionan el vector en $\dst \mathbb{R}^3$ son las componentes $\dst i=2,3,4$ es decir $\dst u_i=\begin{pmatrix}<br /> u_1\;(factor\;metrico\;relativista) \\<br /> u_2\;(componete\;en\;"x") \\<br /> u_3\;(componete\;en\;"y") \\<br /> u_4\;(componete\;en\;"z")<br /> \end{pmatrix}$
Entonces, deberían dar resultados iguales, cláro sin el factor de Lorentz $\dst \gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - \cfrac{v^2}{c^2}}}$.

Es decir si yo escribo, por poner un ejemplo, la Ley de Lorentz en forma tensorial sin los efectos relativistas, es decir:

$\dst f_i=q\left(E_i+B_{ij}v_j \right)$ donde $\dst B_{ij}$ es la porción del tensor campo electromagnético tachando la fila $\dst F_{1j}$ y la columna $\dst F_{i1}$, quedando definido $\dst B_{ij}$ como:

$\dst B_{ij}=\begin{pmatrix}<br /> 0 & -B_z & B_y \\<br /> B_z & 0 & -B_x \\<br /> -B_y & B_x & 0<br /> \end{pmatrix}$

Al yo hacer la multiplicación de matrices

$$\dst f_i=q\left(\begin{pmatrix}<br /> -E_x \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}<br /> 0 & B_z & 0 \\<br /> -B_z & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> v_y \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix}<br /> q\left(v_yB_z-E_x \right) \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}$$

Y como vemos (3) no se corresponde con el resultado correcto.

Ahora mi pregunta es, no será que el tensor campo eletromagnetico es en realidad el transpuesto de el mismo, es decir: $\dst \left(F_{ij}\right) ^T=F_{ji}=\begin{pmatrix}<br /> 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\<br /> E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\<br /> E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\<br /> E_z/c & B_y & -B_x & 0<br /> \end{pmatrix}$

Ya que si es así en realidad, la ecuación tensorial de la fuerza de Lorentz cuadra perfectamente con su forma vectorial, por ejemplo (2) quedaría así:

$$\dst f_i=q\begin{pmatrix}<br /> 0 & E_x/c & 0 & 0 \\<br /> -E_x/c & 0 & -B_z & 0 \\<br /> 0 & B_z & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> \gamma c\\<br /> 0 \\<br /> v_y \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> -q\left(\gamma E_x+v_yB_z\right) \\<br /> 0 \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}$$

y como vemos el resultado final de (4) cuadra con (1) si considerásemos el resultado como un vector canónico y sin el factor de Lorentz, es decir es un resultado esperado, y de igual forma pasaría si redefinimos $\dst B_{ij}$ como $\dst \left(B_{ij}\right)^T$

Bueno en conclusión, la pregunta sería, ¿Es ese realmente el tensor campo electromagnetico?, ¿Pudiera ser el transpuesto de el mismo (considerando que es un tensor antsimétrico)?.

Gracias de antemano.

[lindtaylor]

Re: Tensor Campo Electromagnetico

Una pregunta fuera de lugar, de donde estas aprendiendo a ver los tensores con enfoque fisico? de libros? ya que me interesa igual aprenderlos aunque sea de forma ligera.

[natanael]

Re: Tensor Campo Electromagnetico

Válla, ni me acordaba de esa duda que tenía, creo que nunca la pude resolver. Mira, realmente no sé haya un libro específico, y los libros de física que utilizan esos objetos matemáticos nunca te dicen: &quot;hey mira esto es un tensor&quot;, pero como son utilizados a menudo para definir conceptos métricos, realizar transformaciones y todo eso, los puedes encontrar con frecuencia en relatividad. Puedo estar hablando y sonar como que sé mucho del tema, pero no es así, sólo soy entusiasta cuando puedo comprender algo de ello, y como enseguida me vienen las dudas, vengo y posteo.

Estos pequeños libros pueden ayudarte

http://www.uclm.es/profesorado/eviei...s/Tensores.pdf

http://forja.rediris.es/frs/download.../VTF-1_1_0.pdf