Secundaria campo eléctrico

[laumarpe]

De verdad que estoy muy perdida...

[FONT=Arial]Se sitúan tres cargas eléctricas q1 , q2 y q3 en los puntos A(0,0,0), B(0,4,0) y C(0,4,3) respectivamente, donde las coordenadas vienen dadas en metros. Se pide:[/FONT]
[FONT=Arial]1) Si q1 = 0.1 C, calcular q2 y q3 para que sea nulo el campo eléctrico en el punto P(0,0,3).[/FONT]
[FONT=Arial]2) Si q1 = 0.1 C, q2 = -0.4 C y q3 = 0.2 C calcula el trabajo necesario para llevar una carga unitaria desde el infinito hasta el punto P(0,0,3).[/FONT]
[FONT=Arial]Dato: 1/(4*π*ε0 )= 9*10^9 SI.[/FONT]

Muchas gracias.

[Pepealej]

Re: campo eléctrico

Hola laumarpe,

Si te fijas, podemos simplificar el sistema de coordenadas en 3 dimensiones que nos dan en uno de 2 dimensiones, pues la coordenada en el eje x no se utiliza. Así podemos definir uno donde tengamos al eje y en la horizontal y al eje z en la vertical. Te recomiendo que te hagas un esquema para ver más claro estos problemas. Un esquema como el siguiente:

Y en él te escribes todo lo que quieras: coordenadas, cargas, distancias, ángulos, etc.

Una vez hecho esto, procedemos con el ejercicio a)

Ya viste como coloqué yo las cargas. Puse:

$q_1 (0,0)$

$q_2 (4,0)$

$q_3 (4,3)$

$P (0,3)$

El punto A es que que nos dicen que tiene que tener campo eléctrico nulo. Para ello lo que hacemos es descomponer las fuerzas que se aplican en este punto en el eje y ($\hat{\jmath}$) y en el eje z ($\hat{k}$).

Las fuerzas están claras si vienen de las cargas q1 y q3 pero, ¿y q2? Hay que descomponerla y para ello usamos el ángulo que forma la fuerza que le ejerce al punto A. Si te fijas:

$sin(\alpha)=\frac 3 5$

$cos(\alpha)=\frac 4 5$

Con esto bastará. Ahora decimos que el campo eléctrico total en el punto A tiene que ser 0:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Y tenemos que:

$\boxed{q_2=-\dst\frac{25}{54} \ C}$
$\boxed{q_3=\dst\frac{32}{135} \ C}$

Para resolver el ejercicio b) hay que pensar en potencial eléctrico. El potencial eléctrico se define como el trabajo que un campo eléctrico tiene que hacer para trasladar una carga de prueba desde un punto P hasta el infinito. Si queremos saber que trabajo hay que emplear para trasladar una carga desde infinito hasta el punto P pues tenemos que hayer el potencial en ese punto, pues el módulo del trabajo será igual. El potencial se define como:

$V=\dst\frac{Q}{4\pi \varepsilon _0 \cdot R}$

Ahora hacemos lo mismo que antes; descomponemos por ejes y después los juntamos todos por pitágoras.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Ahora ya podemos decir que tenemos que aplicar $1.26\cdot 10^8 \ J$ de trabajo en el eje $\hat{\jmath}$ para mover una carga de prueba desde el infinito hasta el punto P, y nada de trabajo en el eje $\hat{k}$, pues el campo lo hace por nosotros.

Por si no entendiste el concepto de potencial aquí te dejo una explicación:

$W_{A\to B}=\dst\int _A^B F\cdot d(R)=\left[-\dst\frac{Qq}{4\pi \varepsilon R}\right]_A^B=\dst\frac{Qq}{4\pi \varepsilon A}-\dst\frac{Qq}{4\pi \varepsilon B}$

Y, como sabemos que:

$V=\dst\frac{E_p}{q}=\dst\frac{W}{q}$

Pues podemos decir que:

$\dst\frac{W_{A\to B}}{q}=\dst\frac{Q}{4\pi \varepsilon A}-\dst\frac{Q}{4\pi \varepsilon B}$

Y, si $A=\infty$ y $B=P$, el trabajo que se emplea en llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el punto P es:

$\dst\frac{W_{\infty \to P}}{q}=-\dst\frac{Q}{4\pi \varepsilon P}=V_P$

El trabajo es negativo, obviamente, porque lo ejerces en sentido contrario al campo. Nota que yo consideré la fuerza según el campo eléctrico, y no según un agente externo.

Y de ahí que calculase el potencial en el punto P.

Espero que te haya ayudado. Si tengo algún error que alguien me corrija Saludos!

[Al2000]

Re: campo eléctrico

...
Ahora hacemos lo mismo que antes; descomponemos por ejes y después los juntamos todos por pitágoras.
...

Estás cometiendo el error de tratar el potencial eléctrico como un vector. El potencial es un escalar; el potencial en el punto P es simplemente la suma (escalar) de los potenciales de las tres cargas: $\dst V_P = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \sum _{i=1} ^3 \frac {q_i}{r_i}$

Saludos,

Al

[Pepealej]

Re: campo eléctrico

Entonces, Al, ¿está mal planteado y/o resuelto el problema? ¿Cómo lo debería hacer?

Gracias

[GNzcuber]

Re: campo eléctrico

Hola Pepealej,

A mí me parece que hay más de un error, algunos de ellos seguro son de distracción:

- Cuando hablas de descomponer la fuerza, término que has usado algunas veces más, no es correcto, sinó, como bien escribes luego, es campo eléctrico.
- La energía potencial no se define de la manera que dices (y creo que vale la pena mencionar que la carga de prueba es de valor unitario). Su definición es $\displaystyle V(b)-V(a) \equiv -\int_a^b \boldsymbol{E}\cdot \dd\boldsymbol{l}$.
- Y el último es el que te comenta Al, que estás tratando el potencial como un vector y lo descompones en sus "componentes", pero si es un escalar no tiene componentes.

El potencial es sencillamente la suma escalar de los potenciales (principio de superposición):

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> V(r) &= \sum_{i=1}^n V_{r,i} \\<br /> &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+\frac{q_3}{r_3}\right) \\<br /> &\simeq 9.0\cdot 10^9 \left(\frac{0.1}{3}-\frac{0.4}{5}+\frac{0.2}{4}\right) \\<br /> &\simeq 3.0\cdot 10^7\,\text{V}<br /> \end{aligned}$$

No sé si habrá algún error, pero me parece un valor muy grande. Estas discusiones las hace mejor nuestro amigo Al.

¡Saludos!

[laumarpe]

Re: campo eléctrico

Hola de nuevo!
Ayer me quedé sin red, ya está solucionado el problema.

Yo lo he resuelto, después de atender a vuestras indicaciones de la misma manera que GNzcuber, quiero decir, que me da lo mismo, ahora si es o no un valor muy grande...eso ya se me escapa.