Secundaria Fuerza magnética

[laumarpe]

[FONT=Arial]Un hilo conductor, rectilíneo e indefinido, situado en el vacío sobre el eje OZ de un sistema de referencia cartesiano (OXYZ), transporta una corriente eléctrica de intensidad I=2 A en el sentido positivo de dicho eje. Calcular la fuerza magnética que actuará sobre una partícula cargada, con q=5 C, en el instante que pasa por el punto (0,4,0) m con una velocidad v=20 j m/s.[/FONT]
[FONT=Arial]Dato: μ0 = 4*π*10^(-7) SI.[/FONT]


Necesito un poco de orientación, porque no sé por dónde empezar...
Muchas gracias por vuestro apoyo de antemano.
[FONT=Arial][/FONT]

[Pepealej]

Re: Fuerza magnética

Mejor pasar a la respuesta de GNzcuber. Aunque no entiendo nada seguro que está mejor que la mía xD

Hola laumarpe,

No entiendo mucho del tema, sólo he dado un tema de campos magnéticos pero creo que podré ayudarte a resolver tu duda.

Sabemos que la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una partícula cargada en movimiento es:

$F=B\cdot q\cdot v \cdot sin(\alpha)$

Y que el campo magnético formado por un cable por donde circula una intensidad de corriente es:

$B=\dst\frac{\mu \cdot I}{2\pi \cdot R}$

Entonces, podemos decir que:

$F=\dst\frac{\mu \cdot I}{2\pi \cdot R} q\cdot v \cdot sin(\alpha)$

Como el cable está situado a lo largo del eje Z y la partícula se mueve en el eje Y, el ángulo que forman es de 90º (creo, aquí no estoy muy seguro pero diría que sí). También nos dicen que la partícula está a 4 u de distacia del cable, así que el radio es 4. Entonces, si sustituimos con los datos que tenemos:

$F=\dst\frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2}{2\pi \cdot 4} 5\cdot 20 \cdot sin(\frac{\pi}{2})$

$\boxed{F=10^{-5} \ N}$

Y el sentido de la fuerza hacia el cable.

Creo que eso es todo Espero haberte ayudado. Si me equivoco que alguien me corrija. Saludos!

[GNzcuber]

Re: Fuerza magnética

Hola,

A simple vista diría que la fuerza es cero porque tiene la misma dirección que el campo en el instante que lo calculas.

Consideremos un diferencial de cable de longitud $\dd \boldsymbol{I} = \dd z \boldsymbol{k}$, según la ley de Biot-Savart creará un campo en $\boldsymbol{r} = a\boldsymbol{j}$ así:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \dd\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) &= \frac{\mu_0}{4\pi}I\dd\boldmath{l}\wedge \frac{\boldsymbol{r-r'}}{|\boldsymbol{r-r'}|^3} \\<br /> &= \frac{\mu_0}{4\pi} I\dd z \boldsymbol{k}\wedge \dfrac{a\boldsymbol{j}-z\boldsymbol{k}}{\left(a^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\<br /> &= -\frac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{aI\dd z}{\left(a^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\boldsymbol{i}<br /> \end{aligned}$$

Donde $\boldsymbol{r'}$ es el radiovector (vector de posición) de las fuentes del campo, como en este caso estamos considerando el campo creado por el elemento diferencial antes dicho se tiene $\boldsymbol{r'}=z\boldsymbol{k}$. Este es el campo generado por un elemento diferencial, para saber la contribución de todo el hilo infinito debemos integrar.

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r'}) &= -\frac{\mu_0}{4\pi}aI \boldsymbol{i} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\dd z}{\left(a^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\<br /> &= -\frac{\mu_0}{4\pi}aI \boldsymbol{i} \left[\frac{2}{a^2}\right]\\<br /> &= -\frac{\mu_0I}{2a\pi}\boldsymbol{i}<br /> \end{aligned}$$

La fuerza de Lorentz para esta situación es:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{F} &= q\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) \\<br /> &= q v\boldsymbol{j} \wedge \frac{\mu_0 I}{2a\pi}(-\boldsymbol{i}) \\<br /> &= \frac{qv\mu_0I}{2a\pi}\boldsymbol{k}<br /> \end{aligned}$$

Bueno, después de ver que no daba cero, me he puesto a pensar y he entendido que me lo estaba imaginando mal, la partícula se está moviendo por un eje, como era obvio de ver en el dato y no a lo largo de la línea del campo .

Pero contrariamente a lo que respondió Pepealej, la fuerza no es hacia el cable, sinó en su misma dirección y el sentido de la corriente.

¡Saludos!

Por cierto para calcular la integral, lo detallaré porque he usado posiblemente funciones a las que no estáis acostumbrados (y yo apenas ).

He hecho el siguiente cambio de variable $\frac{z}{a}=\sinh(t) \rightarrow \dd z = a\cosh(t)\dd t$.

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \int \frac{\dd z}{(a^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} &= \int \dfrac{\dd z}{\left(\sqrt{a^2\left[1+\left(\frac{z}{a}\right)^2\right]}\right)^3} = \frac{1}{a^3}\int \frac{a\cosh(t)\dd t}{\sqrt{1+\sinh^2(t)}^3} \\ <br /> &= \frac{1}{a^2} \int \frac{\dd t}{\cosh^2(t)} = \boxed{\frac{\tanh(t)}{a^2}}<br /> \end{aligned}$$

Donde he usado en la última línea:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \cosh^2(t)-\sinh^2(t) = 1 \\<br /> \left(\tanh(t)\right)' = \frac{1}{\cosh^2(t)}<br /> \end{aligned}$$

Y para sustituir, de la definición de la tangente hiperbólica tenemos: $\displaystyle \tanh(t)\equiv\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}$

Vemos que $\displaystyle \tanh(t)\big|_{-\infty}^{\infty} = 1-(-1) = 2$

[Al2000]

Re: Fuerza magnética

...
Y el sentido de la fuerza, obviamente, hacia el cable.

La ausencia de los vectores en tu respuesta probablemente habrá ayudado a que te equivocaras. Si haces un esquema del campo magnético y de la dirección de movimiento de la carga, verás entonces que

$$\boldsymbol B = -B\, \boldsymbol u_x = - \frac {\mu_0 I}{2 \pi y}\, \boldsymbol u_x$$

$$\boldsymbol v = v \, \boldsymbol u_y$$

y entonces la fuerza magnética es

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \boldsymbol F &= q \boldsymbol v \times \boldsymbol B \\<br /> &= q \left(v \, \boldsymbol u_y\right) \times \left(- \frac {\mu_0 I}{2 \pi y}\, \boldsymbol u_x\right)\\<br /> &= \frac {\mu_0 I q v}{2 \pi y}\,\boldsymbol u_z <br /> \end{aligned}<br />$$

Puesto en palabras, la fuerza apunta paralela a la corriente.

Saludos,

Al

PD. Me disculpas amigo Gabriel, no vi que ya habías respondido.

[GNzcuber]

Re: Fuerza magnética

PD. Me disculpas amigo Gabriel, no vi que ya habías respondido.

Nunca está demás corroborar con alguien como tú, mucho de lo que sé te lo debo. Por otra parte, como dice Pepealej, aún uso matemáticas pesadas (a modo de ejercicio para mí, pero intento explicar qué hago para que los demás lo entiendan, veo que últimamente no lo estoy logrando :'( ) así que tus respuestas siempre serán bienvenidas por mucho que respondamos .

Pepealej, yo de ti me iría acostumbrando un poco a los vectores, y mucho más en electromagnetismo.

Laumarpe, he estado viendo tus últimos post donde sólo pones dudas, no sabemos nada de lo que has hecho. No sabemos si los has intentado ni cuáles son tus dudas o dónde te trabas. Que te resolvamos el ejercicio no te servirá de mucho.

¡Saludos!

[laumarpe]

Re: Fuerza magnética

Tienes toda la razón GNzcuber...
A veces sólo me dedico a escribir el problema, porque me cuesta mucho tiempo escribir todos los símbolos, números, subíndices... (desconozco si hay una manera más rápida?), y cuando se trata de hacerlo por la noche aún es peor...
Y otras veces es simplemente que estoy tan fuera de lugar que me da vergüenza escribir alguna barbaridad.
De todas maneras agradezco vuestra ayuda, porque me sirve para investigar más en los apuntes y profundizar en los conceptos, que es mi carecencia especialmente.

Y ahí va mi duda:
Yo pensaba que el campo B llevaba la dirección de la I (en este caso la del eje OZ, +k).
Y al llevar la velocidad la direccón del eje positivo de las y (+j), al llevar v sobre B, la F lleva la dirección del eje de las X, en sentido negativo (-i).

Pero leo vuestras explicaciones y resulta que B lleva la dirección y sentido del eje positivo OX (+i), y se me derrumba todo lo anterior.
¿Por qué es así? Porque B ha de ser perpendicular al movimiento de la partícula y al mismo tiempo al de la intensidad I???

[GNzcuber]

Re: Fuerza magnética

Hola laumarpe,

Que el campo magnético sea perpendicular a la velocidad de la partícula es casualidad, bueno no, el/la profesor/a lo habrá puesto así para que sea más sencillo calcular (no necesitas calcular una función trigonométrica ... bueno, que es igual de sencillo ).

Que el campo magnético sea perpendicular a la dirección del movimiento de una partícula cargada es natural, es decir, no hay más preguntas que hacerse, de alguna manera tenía que ser y la naturaleza es así. En particular el campo magnético es perpendicular a la dirección por la que fluye una intensidad de corriente eléctrica.

¡Saludos!