1r ciclo Circuito con condensador e inductor

[kuvala]

Hola Buenas:

Estaba haciendo este ejercicio y me han salido algunas dudas, además de no saber como hacer una parte.

Duda: En el proceso de descarga de un condensador, ¿disminuye la carga y el voltaje, o hay alguno de los dos que permanezca constante?
Yo creo que disminuyen los dos a razón de lo siguiente:

$V=\int \vec{E}d\vec{l}$

${\int }_{ A}\vec{E}d\vec{A}=\frac{{Q}_{int } }{{\varepsilon }_{ 0} }$

$E=\frac{Q(t)}{{\varepsilon }_{0 } A }$

$V=\frac{Q(t)}{{\varepsilon }_{ 0}A }l$

Como se ve, el potencial también depende de la carga, la cual varía a lo largo del tiempo por el proceso de descarga, y por lo tanto, el potencial también disminuye. ¿Es esto correcto?

Problema:

"En el circuito de la figura, el interruptor se encuentra en la posición a durante un largo periodo de tiempo. Después que el interruptor se coloca en la posición b, calcule:

a)La carga máxima almacenada en el condensador.

b)La máxima corriente.

c)La energía cuando ha pasado un tiempo de t=300 s"





El apartado a) creo que lo he hecho sin problemas:

$Q=CV$ $Q=1,2\cdot {10}^{ -5} C$

b) Este todavía no sé cómo hacerlo.

Como dice que cuál es la corriente máxima, he pensado en esto: $\frac{d(I(t))}{dt }=0$, donde $\dst I(t)={I}_{0 }{e}^{\frac{-t}{ \tau } }$

Entonces quedaría así: $\dst {I}_{0 }{e}^{\frac{-t}{\tau } }(\frac{-1}{ \tau })=0$

Pero bueno, en realidad esto no me sirve de mucho porque ${I}_{0 }$ no lo tengo, así que supongo que será de otra forma.

Por cierto, tengo otra duda xD

La energía del condensador cargado la he averiguado así:

$\dst U=\frac{1}{2 }\frac{{Q}^{ 2} }{ C}= 7,2\cdot {10}^{ -5} J$

Sin embargo, en la fórmula esta: $\dst \varepsilon =\frac{U}{ q}$, $\varepsilon$ me debería salir 12 v puesto que a ese potencial se ha cargado el condensador, pero no me sale así.

Si $q=1,602\cdot {10}^{ -19}$ $\Rightarrow$ $\dst \varepsilon =4,49\cdot {10}^{14 }$ V

y si $q=Q=1,2\cdot{10}^{-5 } C$ $\Rightarrow$ $\dst \varepsilon =6$ V

¿Qué es lo que falla?

Muchas Gracias

Un Saludo

[Al2000]

Re: Circuito con condensador e inductor

...
Duda: En el proceso de descarga de un condensador, ¿disminuye la carga y el voltaje, o hay alguno de los dos que permanezca constante?
...

Aquí tienes una fallita en el concepto de capacidad. En un condendador la carga y el voltaje son proporcionales. La constante de proporcionalidad es precisamente lo que llamamos la capacidad del condensador: Q = C V.

En el circuito que estás analizando, con el conmutador en la posición "a" el condensador se carga con la batería. Tienes un circuito RC y se aplica todo el formalismo de tal circuito. Sin embargo no te interesan todos los detalles del proceso de carga, pues el enunciado dice que el conmutador ha estado mucho tiempo en esa posición, y por consiguiente el condensador se habrá cargado por completo. La carga máxima que recibe el condensador será simplemente Q = C V, el valor que calculaste.

Cuando pasas el conmutador a la posición "b", se forma un circuito LC. Este circuito es un circuito oscilante en el cual la energía se transfiere del condensador a la bobina y de vuelta al condensador en un ciclo perpetuo, puesto que no hay ninguna disipación de energía (no hay ninguna resistencia en el circuito). El análisis formal del circuito lo puedes conseguir en cualquier libro, yo sólo te voy a dar algunas indicaciones.

Si analizas el circuito (Kirchhoff) llegarás a la ecuación diferencial

$$\frac {d^2 Q}{dt^2} + \frac 1 {LC} Q = 0$$

la cual es formalmente idéntica a la ecuación de un oscilador mecánico masa-resorte sin fricción. La solución de esta ecuación es

$$Q_{(t)} = Q_{max} \cos \omega t\,,\quad \omega = \sqrt {\frac 1 {LC}}$$

(estoy poniendo la fase inicial en cero ya que el condensador está completamente cargado en t=0)

y por derivación obtienes la corriente en el circuito

$$i_{(t)} = - \omega Q_{max} \, \mathrm {sen} \, \omega t$$

De aquí obtienes que la máxima corriente vale $\dst i_{max} = \omega Q_{max}$.

Y finalmente la pregunta c)... como no hay ninguna resistencia que disipe la energía, y como no te están pidiendo que discrimines la energía en sus partes eléctrica (condensador) y magnética (bobina), puedes responder simplemente con la energía inicial del condensador. Allí pareces tener alguna confusión... la energía de un condensador está dada por cualquiera de las expresiones

$$U = \frac 1 2 C V^2 = \frac 1 2 \frac {Q^2} C = \frac 1 2 Q V$$

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Circuito con condensador e inductor

Y finalmente la pregunta c)... como no hay ninguna resistencia que disipe la energía, y como no te están pidiendo que discrimines la energía en sus partes eléctrica (condensador) y magnética (bobina), puedes responder simplemente con la energía inicial del condensador. Allí pareces tener alguna confusión... la energía de un condensador está dada por cualquiera de las expresiones

$$U = \frac 1 2 C V^2 = \frac 1 2 \frac {Q^2} C = \frac 1 2 Q V$$

Al

Muchas gracias Al por la contestación

En cuanto a lo de la energía del condensador, yo me refería a que la fem se define como cantidad de energía por unidad de carga, es decir, $\varepsilon =\frac{U}{q }$, por lo tanto, si yo sustituyo la energía obtenida (por cualquiera de las expresiones que has puesto) en la expresión de la fem, ésta me debería dar 12 V, pero no es así. No sé si lo que digo es cierto o no...

[Al2000]

Re: Circuito con condensador e inductor

La energía almacenada en el condensador es la mitad de la energía que suministra la fuente. La otra mitad se disipa en forma de calor. Debes tomar en cuenta que para cargar el condensador debe circular una corriente, lo cual implica que hay que gastar cierta energía para establecer el campo magnético de la corriente. Si quieres te entretienes viendo cuanta energía se disipa en la resistencia del circuito RC:

- Energía suministrada por la fuente: $\dst U = Q \mathcal E = (C \mathcal E) \mathcal E = C \mathcal E^2$

- Energía almacenada en el condensador: $\dst U_C = \frac 1 2 C \mathcal E^2$

- Energía disipada en la resistencia: $\dst U_R = \int_{0}^{\infty }\!\! I^2 R\,dt = \int_{0}^{\infty }\!\! \left(\frac {\mathcal E} R e^{-t/RC}\right)^2 R\,dt = \frac 1 2 C \mathcal E^2$

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Circuito con condensador e inductor

Buah, perfecto. Ahora sí me ha quedado clarísimo.

Muchas gracias

Un Saludo