1r ciclo Relación entre condensadores

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo este ejercicio que no sé muy bien como llegar a la solución. De todas formas, lo dejo planteado, a ver si voy por buen camino

"En el circuito de la figura, ¿cuál es la relación más general que debe cumplirse entre las capacidades de los cuatro condensadores para que los puntos a y b estén al mismo potencial?"



Solución: $\dst \frac{{C}_{3 } }{ {C}_{ 1} +{C}_{3 } } =\frac{{C}_{ 4} }{{C}_{2 }+{C}_{4 } }$

Yo lo he planteado de la siguiente manera:

Llamando 1 al codo anterior al condensador 1, y llamando 3 al codo anterior al condensador 2, el enunciado dice que los puntos a y b tienen que estar al mismo potencial, por lo tanto, tiene que pasar el mismo voltaje por el condensador 1 y por el 2.

$({V}_{1 }-{V}_{ a})=({V}_{ 3}-{V}_{b })$

Como $({V}_{1 }-{V}_{ a})=\frac{Q}{ {C}_{ 1} }$

y

$\dst ({V}_{ 3}-{V}_{b })=\frac{Q'}{ {C}_{2 } }$

entonces quedaría así:

$\dst \frac{Q}{ {C}_{1 } }=\frac{Q'}{{C}_{2 } }$

En la rama superior la carga sería Q para los dos condensadores al estar en serie y el voltaje en las dos ramas sería el mismo (al estar en paralelo), por lo que se podría expresar de la siguiente manera:

$Q={C}_{ eq1} V$ ,

$\dst \frac{1}{{C}_{ eq1} }=\frac{1}{ {C}_{1 } }+\frac{1}{{C}_{ 3} }$ $\Rightarrow$ $\dst {C}_{ eq1}=\frac{{C}_{ 3}+{C}_{1 } }{{C}_{ 1}{C}_{ 3} }$

Para Q' se haría igual que lo anterior, solo que el condensador equivalente sería el formado por el condensador 2 y el 4

$\dst \frac{Q}{ {C}_{1 } }=\frac{Q'}{{C}_{2 } }$ $\Rightarrow$ $\dst \frac{\frac{{C}_{ 3}+{C}_{1 } }{{C}_{ 1}{C}_{ 3} } }{ {C}_{1 }}V= \dst \frac{\frac{{C}_{ 4}+{C}_{2} }{{C}_{ 2}{C}_{ 4} } }{{C}_{ 2} } V$ $\Rightarrow$ $\dst \frac{{C}_{ 3}+{C}_{1 }}{({C}_{ 3}{C}_{1 }) {C}_{1 }} =\frac{{C}_{ 4}+{C}_{2}}{({C}_{ 4}{C}_{2}) {C}_{2}}$ $\Rightarrow$ $\dst \frac{{{C}_{ 2} }^{2 }{C}_{ 4} }{{C}_{ 4}+{C}_{2 } }=\frac{{{C}_{1 } }^{ 2}{C}_{3 } }{{C}_{3 }+{C}_{1 } }$

Después de esto, he pensado que para que cuadren un poco los resultados, el condensador 1 y el 2 tienen que ser iguales, pero vamos, que eso solo ha sido por decirlo de alguna manera "hacer trampas", porque realmente no sé si es así.


Muchas gracias.

Un Saludo

[Al2000]

Re: Relación entre condensadores

...
$\dst \frac{1}{{C}_{ eq1} }=\frac{1}{ {C}_{1 } }+\frac{1}{{C}_{ 3} }$ $\Rightarrow$ $\dst {C}_{ eq1}=\frac{{C}_{ 3}+{C}_{1 } }{{C}_{ 1}{C}_{ 3} }$
...

Tienes un error aquí, no invertiste el quebrado. La ecuación debería decir

$\dst \frac{1}{{C}_{ eq1} }=\frac{1}{ {C}_{1 } }+\frac{1}{{C}_{ 3} }$ $\Rightarrow$ $\dst {C}_{ eq1}=\frac{{C}_{ 1}{C}_{ 3} }{{C}_{ 3}+{C}_{1 } }$

Corrige eso y tendrás el resultado que buscas.

Me llamó la atención la forma en que está expresado el resultado, pues ya uno cuando ve ese circuito (circuito puente) sabe que el cociente de los dos de un extremo debe ser igual al cociente de los dos del otro extremo. Si tomas el resultado que indica el problema y lo manipulas un poquito, obtienes

$\dst <br /> \begin{aligned}<br /> \frac {C_3}{C_1 + C_3} = \frac {C_4}{C_2 + C_4} \quad \Rightarrow& \quad \frac {C_1 + C_3}{C_3} = \frac {C_2 + C_4}{C_4} \quad \Rightarrow \quad \frac {C_1}{C_3} + 1 = \frac {C_2}{C_4} + 1 \\<br /> \Rightarrow& \quad \frac {C_1}{C_3} = \frac {C_2}{C_4} \quad \Rightarrow \quad \frac {C_1}{C_2} = \frac {C_3}{C_4}<br /> \end{aligned}<br />$

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Relación entre condensadores

Me llamó la atención la forma en que está expresado el resultado, pues ya uno cuando ve ese circuito (circuito puente) sabe que el cociente de los dos de un extremo debe ser igual al cociente de los dos del otro extremo. Si tomas el resultado que indica el problema y lo manipulas un poquito, obtienes

$\dst <br /> \begin{aligned}<br /> \frac {C_3}{C_1 + C_3} = \frac {C_4}{C_2 + C_4} \quad \Rightarrow& \quad \frac {C_1 + C_3}{C_3} = \frac {C_2 + C_4}{C_4} \quad \Rightarrow \quad \frac {C_1}{C_3} + 1 = \frac {C_2}{C_4} + 1 \\<br /> \Rightarrow& \quad \frac {C_1}{C_3} = \frac {C_2}{C_4} \quad \Rightarrow \quad \frac {C_1}{C_2} = \frac {C_3}{C_4}<br /> \end{aligned}<br />$

Muchas gracias por todo Al Para no variar, he vuelto a tener un fallo tonto xD Por cierto, ahora lo que dices es verdad, está expresado muy raro el resultado. Pero bueno, en cierto modo tampoco me extraña mucho porque era de un examen y quizás estuviese así para despistar un poco.

Un Saludo