1r ciclo Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

[vpleader]

¡Saludos!

Estoy tratando de hacer un problema de cálculo del campo eléctrico, de los que típicamente se hacen en un plis por Gauss, pero por integración directa, y tengo algunas dudas que os agradecería que me ayudaseis a resolver. El problema dice así:

Halle el campo eléctrico y el potencial producido en cualquier punto del espacio por un hilo recto indefinido cargado uniformemente con densidad de carga \lambda.

El resultado que sale para el campo por Gauss es $\dst\vec{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\varepsilon}_{0} }\hat{\rho }$.

Parto de la expresión siguiente:
$\dst\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0 }} {\int }_{L } \frac{\vec{r}-\vec{r'} }{{ \left\vert{} r-r' \right\vert{} }^{ 3} } \lambda dl' }$

Sitúo el hilo a lo largo del eje z, centrado en él. Intento hacer la integral en coordenadas cilíndricas, y tengo que:

dl'=dz'
$\vec{r}=\rho \hat{\rho }+z \hat{z}$
$\vec{r'}=z' \hat{z}$

Sustituyo esto en la expresión del campo:

$\dst\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0 }} {\int }_{L } \frac{\rho \hat{\rho}+(z-z')\hat{z} } {{\left[ {\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 } \right]}^{ 3/2} }dz'$

Al llegar a este punto, mi profesor dice que no se puede hacer la integral así directamente (¿por qué?), y que hay que pasar $\rho$ a cartesianas:

$\dst \rho \hat{\rho}= \rho \cos (\varphi) \hat{x} + \rho \sin (\varphi) \hat{y}$

Aún así, sustituyo y me encuentro en un atolladero, me salen indeterminaciones y no sé cómo seguir:

$\vec{E}= \frac{\lambda }{4 \pi {\varepsilon }_{0 } } \left[ {\int}_{L } \frac{\rho \cos (\varphi) \hat{x}}{ {\left[ {\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 } \right]}^{ 3/2}} dz' + {\int}_{L } \frac{\rho \sin (\varphi) \hat{y}}{ {\left[ {\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 } \right]}^{ 3/2}} dz' + {\int}_{L } \frac{(z-z') \hat{z}}{ {\left[ {\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 } \right]}^{ 3/2}} dz' \right]$

Y "resolviendo" las integrales:

= $\dst \frac{\lambda }{4 \pi {\varepsilon }_{0 } } \left[ \rho (\cos(\varphi)\hat{x}+\sin(\varphi)\hat{y}) \frac{z-z'}{{\rho}^{2 } \sqrt{{\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 } }} - \frac{\hat{z}}{ \sqrt{{\rho}^{2 }+{(z-z')}^{2 }} } \right]$

Evaluando esto entre menos infinito y más infinito llega el problema .

El cálculo directo del potencial no puede hacerse por alguna sutileza físico-matemático que no recuerdo (la explica en el Gascón Latasa de Electromagnetismo) y que provoca que aparezca una indeterminación, que no debiera aparecer al calcular el campo eléctrico.

Help, please!

[Al2000]

Re: Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

En este caso no tienes necesidad de expresar el vector unitario $\hat \rho$ en coordenadas cartesianas. En coordenadas cilíndricas el vector $\hat \rho$ es función de $\varphi$ y las integrales que estás resolviendo no dependen del ángulo. La integral en la dirección de $z$ se te va a anular al sustituir $z' \to \pm \infty$ y la integral en dirección radial resulta en una indeterminación salvable:

$$\int_{-\infty }^{\infty }\!\!\frac \rho {\left[\rho ^2 + (z-z')^2\right]^{3/2}}\,dz' = \frac 1 \rho \left . \frac {z-z'}{\sqrt {\rho ^2 + (z-z')^2}} \right |_{-\infty }^{\infty } = \frac 2 \rho$$

(para resolver la indeterminación simplemente divide numerador y denominador por $z-z'$)

Saludos,

Al

PD. Puedes editar tu mensaje y poner el comando \dst al principio de cada ecuación para que no se vean tan chiquitas.

[vpleader]

Re: Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

Gracias Al

Ya por abusar de tu generosidad, te hago otra pregunta para acabar de comprenderlo:

Si tuviese que integrar también en $\dst\varphi$, ¿tendría que expresar $\dst \rho$ como $\dst \rho \hat{\rho}= \rho\cos(\varphi)\hat{x}+\rho\sin(\varphi)\hat{y}$, verdad?

Y en este caso, se supone que estoy haciendo una integral en coordenadas cilíndricas, pero el campo resultante va a venir dado en función de $\dst\hat{x},\hat{y}$ y $\hat{z}$, es decir, en función de los vectores típicos de las coordenadas cartesianas, lo que no acabo de entender... ¿por qué?

[Cromwell]

Re: Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

Tu problema ya esta resuelto pero creo que este consejo te puede ayudar para otros casos. Cuando te plantees un problema, mira primero que simplificaciones puedes hacer. En este caso hay simetría cilíndrica por lo que puedes afirmar que el vector campo será radial, así que ya solo tienes que plantear la integral de esa componente radial.si te planteas una distribución plana infinita de carga,a cualquier elemento infinitesimal de esta le corresponde otro simétrico que anula las componentes no ortogonales al plano, así que tan solo te te tienes que plantear la integral de la componente normal al plano del campo. En definitiva, la filosofía es realizar previamente al planteamiento del problema todas las simplificaciones, por ejemplo las derivadas de simetrías. Esto permite plantear expresiones mas sencillas que evitan posteriores dificultades y errores.

[Al2000]

Re: Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

...
Si tuviese que integrar también en $\dst\varphi$, ¿tendría que expresar $\dst \rho$ como $\dst \rho \hat{\rho}= \rho\cos(\varphi)\hat{x}+\rho\sin(\varphi)\hat{y}$, verdad?
...

Lo importante es que te des cuenta de que los vectores unitarios $\hat \rho$ y $\hat \varphi$ en coordenadas cilíndricas, y los tres vectores unitarios $\hat \rho ,\, \hat \theta ,\, \hat \varphi$ en coordenadas esféricas, no son constantes. Aunque todos tienen magnitud 1 (son unitarios), la dirección en la que apuntan dependen de un ángulo.

Cuando resuelves el problema del filamento infinito usando coordenadas cilíndricas y con el filamento orientado a lo largo del eje $z$, debido a la simetría de la distribución de carga el ángulo $\varphi$ no interviene en el análisis del campo. En particular, la integral que contiene al vector unitario $\hat \rho$ se integra respecto de la coordenada $z$, es decir, $\varphi$ es constante. Entonces el vector unitario $\hat \rho$ será constante en esa integral y puede "sacarse" de ella, sin necesidad de recurrir a expresar el vector en coordenadas cartesianas (lo cual se hace porque los vectores $\hat x,\, \hat y,\, \hat z$ son constantes).

Un ejemplo en contra para mejor clarificar la idea. Haz el cálculo del campo del anillo usando el mismo sistema de coordenadas. Coloca el anillo en el plano XY, y centrado en el origen de coordenadas. El campo que produce un elemento de carga $dq = \lambda\, dl = \lambda R \, d \varphi$ ubicado en las coordenadas $( \rho, \varphi , z) = (R, \varphi ,0)$, en un punto cualquiera sobre el eje $z$ se calcularía haciendo

$\dst dl = R d \varphi$

$\dst \vec r = z \hat z$

$\dst \vec {r'} = R \hat \rho$

$\dst \vec E = \frac { \lambda R}{4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{2 \pi }\!\! \frac {z \hat z - R \hat \rho }{(R^2 + z^2)^{3/2}}\,d \varphi$

(He tratado de seguir la notación que tu utilizas, aunque no tuve hígado suficiente para introducir el innecesario $z'$)

Si no estás consciente de que $\hat \rho$ depende de $\varphi$, entonces te parecería que todo el integrando es constante y que la solución es

$$\vec E = \frac { \lambda R}{2 \epsilon_0} \frac {z \hat z - R \hat \rho }{(R^2 + z^2)^{3/2}}$$

cuando ocurre que la segunda integral es cero pues estás sumando todos los posibles valores de $\hat \rho$ alrededor del eje. Si eso no es evidente (no se trata de un anillo sino de medio anillo, por poner un ejemplo), entonces procederías a resolver la integral de la manera

$\dst \int_{0}^{2 \pi }\!\! \hat \rho \,d \varphi = \int_{0}^{2 \pi }\!\! (\cos \varphi \, \hat x + \, \mathrm {sen} \, \varphi \, \hat y)\,d \varphi = 0$

para llevar al resultado correcto

$$\vec E = \frac { \lambda R}{2 \epsilon_0} \frac {z \hat z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$$

Retomando el ejemplo que puse arriba, de que fuese medio anillo (digamos en el semiplano XY positivo), entonces tendrías que

$\dst \int_{0}^{\pi }\!\! \hat \rho \,d \varphi = \int_{0}^{\pi }\!\! (\cos \varphi \, \hat x + \, \mathrm {sen} \, \varphi \, \hat y)\,d \varphi = 2 \hat y$

y el resultado para el medio anillo superior sería

$$\vec E = \frac { \lambda R}{4 \pi \epsilon_0} \frac {\pi z \hat z - 2 R \hat y}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$$

y como sería de esperar por la asimetría de este caso, el campo sobre el eje $z$ tendría una componente en la dirección $-y$.

Saludos,

Al

[vpleader]

Re: Ayuda con campo eléctrico de hilo infinito cargado (por integración directa)

Gracias, me habéis aclarado muchos conceptos en los que dudaba.